Cauchys integralteorem-hjelp

[FredrikM]

La [tex]C: |z|=2[/tex] være sirkelene om origo med radius 2. Regn ut [tex]\oint_C \frac{e^{-z}}{(z+1)^2} dz[/tex]

Jeg ønsker å få denne om på formen i formelen [tex]\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz=2\pi i f(z_0)[/tex].

Problemet er at f må være analytisk i og på sirkelen, og jeg sliter med å finne en slik f.

Jeg blir glad for hint.

[Gustav]

Du har vel her en 2.ordens pol, så du kan jo bruke residueformelen for en slik.

[FredrikM]

Det er ennå ikke forelest om residue-formelen, så jeg tenkte denne oppgaven kunne løses på en annen måte. Kan selvsagt lese om formelen og løse det på den måten...

[Gustav]

Så du skal ikke bruke Cauchys integral formel? http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s ... al_formula

[FredrikM]

Jo, det bør være den det er meningen jeg skal bruke (oppgaven er i kapittelet om nettopp den formelen)

[TrulsBR]

Hva med å skrive [tex]e^{-z} = e^{-(z+1)+1}[/tex] ?

[Gustav]

Jeg vet ikke om jeg skjønner hvor du vil, men det naturlige her er å bruke at

[tex]f^,(-1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=2}\frac{f(z)}{(z+1)^2}\,dz[/tex]

[FredrikM]

*dunke seg i hodet*

Jeg var fastlåst på at jeg kun skulle bruke [tex]f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz[/tex], men så har vi jo også - som du sier - den generelle Cauchy-formelen:
[tex]f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz[/tex]

...

Da blir det piece of cake.

[Gustav]

Nettopp:)