matematikk.net

Finn den generelle løsningen av differensiallikningen:

[tex]2y\prime\prime+y\prime-y=2x[/tex]

Mitt svar:

Ser at likningen er inhomogen, så jeg må først finne den generelle løsningen til:
[tex]2y\prime\prime+y\prime-y=0[/tex]

Skriver om til karakteristisk likning:
[tex]2r^{2}+r-1=0[/tex]

Bruker andregradslikningen, og kommer frem til at:
[tex]r_{1}=\frac{1}{2}[/tex] og [tex]r_{2}=-1[/tex]

Siden det er to ulike reelle røtter, er den generelle løsningen til den homogene likningen:
[tex]y=Ce^{\frac{1}{2}x}+De^{-x}[/tex]

Kaller dette [tex]y_{h}(x)[/tex]:
[tex]y_{h}(x)=Ce^{\frac{1}{2}x}+De^{-x}[/tex]

Må nå finne en løsning av den inhomogene likningen, kaller det [tex]y_{s}(x)[/tex], og deretter addere de for å finne den generelle løsningen til den inhomogene likningen.

Problemet er at jeg ikke er helt sikker på hvordan jeg skal finne [tex]y_{s}(x)[/tex].

Dette er hva jeg tror skal gjøres:

[tex]f(x)=2x[/tex]
[tex]y_{s}(x)=Ax+B[/tex]
[tex]y_{s}\prime(x)=A[/tex]
[tex]y_{s}\prime\prime(x)=0[/tex]

[tex]0+A-(Ax+B)=2x[/tex]

Er dette rett så langt? Det er bokstavlig talt forklart på gresk i læreboken min, håper noen her kan forklare dette til meg på norsk.

Edit:

Ok, jeg tror jeg har funnet ut av det:

[tex]0+A-(Ax+B)=2x[/tex]
[tex]A-Ax-B=2x[/tex]

Dvs:

[tex]-Ax=2x[/tex]
[tex]A-B=0[/tex]

Dvs:

[tex]A=-2[/tex]
[tex]B=-2[/tex]

Da har vi: [tex]y_{s}(x)=-2x-2[/tex]

Generelle løsningen til den inhomogene likningen er da:
[tex]y=y_{h}(x)+y_{s}(x)[/tex]
[tex]y=Ce^{\frac{x}{2}}+De^{-x}+(-2x-2)[/tex]
[tex]y=Ce^{\frac{x}{2}}+De^{-x}-2(x+1)[/tex]

I fasiten er svaret:

[tex]y=Ae^{\frac{x}{2}}+Be^{-x}-2(x+1)[/tex]

Har 2 nye spørsmål nå:

1) Er dette rett metode for å finne [tex]y_{s}(x)[/tex]?

2) Jeg regner med at det ikke har noe å si at jeg bruker C og D, eller spiller det en rolle?

Håper noen kan svare meg!

Ser helt rett ut. Og ja, det er rett metode for å finne [tex]y_p(x)[/tex] som kalles partikulærløsningen. Løsningen av den inhomogene diff.ligningen vil være løsningen av tilhørende homogen ligning pluss partikulærløsningen.

Men uansett, helt rett!

C og D er bare ubestemte konstanter som du like gjerne kunne kalt Gryte og Lampe. Du kunne forsåvidt også kalt variabelen din noe annet også hvis du hadde hatt lyst til det, så nei det spiller ingen rolle

Takk for svar.

Lurer fremdeles på om det er greit at jeg bruker C og D, mens fasit bruker A og B? Har det noen betydning? Jeg regner med at det ikke har noen betydning siden C og D er vilkårlige konstanter, akkurat som A og B, men hadde vært fint å få dette bekreftet av noen.

Jeg holder nå på med neste oppgave som er:
[tex]y\prime\prime+2y\prime+5y=cos(x)[/tex]

Her er det også lett og finne den generelle løsningen til [tex]y\prime\prime+2y\prime+5y=0[/tex], men her kan jeg ikke bruke samme metode til å finne [tex]y_{p}(x)[/tex] (Jeg kalte dette [tex]y_{s}(x)[/tex] tidligere). Her må jeg "take a guess". Jeg trodde matematikk var fakta. Noen som kan forklare hvordan man finner [tex]y_{p}(x)[/tex] generelt?

Edit:
Ser ut som jeg fikk svar på det første spørsmålet her, mens jeg skrev innlegget. Takker.

Noen som kan svare på det andre spørsmålet mitt her?

"Take a guess" var forsåvidt akkurat det du gjorde i forrige oppgave også. Du gjettet at løsningen måtte være på formen Ax + b, altså et førstegradspolynom.

Dette gjør man først og frems fordi førstegradspolynomer tilfredstiller betingelsene til differensiallikningen. Hvis du tenker på hva den sier, så sier den jo:

Det eksisterer en funksjon y som er slik at når du tar to ganger den andrederiverte av y legger det til den deriverte av y og trekker fra y så gir det 2x. Filosoferer du litt rundt det så ser du at førstegradspolynomer kan oppfylle dette...

Kan du nå gjøre en kvalifisert gjetting på hvordan type funksjoner som tilfredstiller din andre difflikning?

For å være helt ærlig, forstår jeg ikke dette.

I sist oppgave skrev jeg:
[tex]f(x)=2x[/tex]
[tex]y_{s}(x)=Ax+B[/tex]
[tex]y_{s}\prime(x)=A[/tex]
[tex]y_{s}\prime\prime(x)=0[/tex]
[tex]0+A-(Ax+B)=2x[/tex]

Det at [tex]y_{s}(x)=Ax+B[/tex], skrev jeg pga [tex]f(x)=2x[/tex]. Hvis jeg hadde hatt [tex]f(x)=x^{2}[/tex] så ville jeg ha skrevet [tex]y_{s}(x)=Ax^{2}+B+C[/tex]. Er det noe logikk i dette? Det var det læreren mente (tror jeg).Er ikke helt sikker på hva man skal gjette når man har [tex]cos(x)[/tex].

Hvis høyresida er cos(x) bør du gjette på at partikulærløsningen er på formen

Acos(x)+Bsin(x)

Hvordan ser du det?

Ser du det ut i fra den generelle løsningen til den korrosponderene homogene likningen?

Altså:
Den generelle løsningen til [tex]y\prime\prime+2y\prime+5y=0[/tex] er [tex]e^{-x}(Ccos(2x)+Dsin(2x))[/tex]. Der i fra ser jeg en sammenheng til ditt gjett.

Det kan man i så fall ikke se når man ikke får komplekse røtter...

Er det ingen regel for dette. Går i surr for meg.

Noen som kan peke meg til en side eller noe som kan forklare dette enkelt?

Tommelfingerregelen er å gjette på lineærkombinasjoner av alle de deriverte av høyresida. Har ikke læreren din nevnt dette?

Jo, men jeg forstår ikke det.

Det er en enorm forklaring på hvordan man skal finne partikulærløsningen i Kalkulus, men jeg fatter ikke bæret av det.

Edit:
Jeg fant to veldig gode videoer om dette på YouTube. Her er linkene i tilfellet noen skulle ha samme problem som meg...

http://www.youtube.com/watch?v=znE4Nq9NJCQ
http://www.youtube.com/watch?v=hbJ2o9EUmJ0

(Det er flere også...)

Jeg finner det fremdeles temmelig vanskelig å se hvordan man skal finne den partikulære løsningen i noen tilfeller, men tror jeg overlever.

Takk for hjelpen.