matematikk.net

Hei igjen folkens,

Litt pussig at jeg sitter her en lørdagskveld med enda en oppgave jeg ikke klarer å løse, men denne er litt morsom.

OPPGAVE:

f(x) = [tex] x^2 * cos^4x * e^x [/tex]

Deriver funksjonen.

LØSNING (UFERDIG):

Her kan jeg ikke bruke produktregelen som jeg kjenner det. Jeg prøvde dette:

Siden (f*g)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

Blir kanskje (f*g*h)'(a) = f'(a)g(a)h(a) + f(a)g'(a)h(a) + f(a)g(a)h'(a)

mao

[tex]= (2x*cos^4x*e^x)-(x^2*4sinxcos^3x*e^x)+(x^2*cos^4x*e^x)[/tex]

Og sitter nå fast her. Jeg er ikke sikker på om min idé var feilen, noen som har tatt produktregelen på funksjoner med mer enn to faktorer?

Itchy skrev:Hei igjen folkens,
Litt pussig at jeg sitter her en lørdagskveld med enda en oppgave jeg ikke klarer å løse, men denne er litt morsom.
OPPGAVE:
f(x) = [tex] x^2 * cos^4x * e^x [/tex]
Siden (f*g)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)
Blir kanskje (f*g*h)'(a) = f'(a)g(a)h(a) + f(a)g'(a)h(a) + f(a)g(a)h'(a)
mao
[tex]= (2x*cos^4x*e^x)-(x^2*4sinxcos^3x*e^x)+(x^2*cos^4x*e^x)[/tex]
Og sitter nå fast her. Jeg er ikke sikker på om min idé var feilen, noen som har tatt produktregelen på funksjoner med mer enn to faktorer?

ser faktisk riktig ut dette

Itchy skrev:Her kan jeg ikke bruke produktregelen som jeg kjenner det.

a = a(x) etc.

(I) [tex]a = b\cdot c \,\,\Rightarrow\,\, a^\prime = b^\prime\cdot c + b\cdot c^\prime[/tex].

Hvis det tilfeldigvis skulle vise seg at [tex]b[/tex] også er et produkt, nemlig [tex]b = d\cdot e[/tex] vet du jo at [tex]b^\prime = d^\prime\cdot e + d\cdot e^\prime[/tex]. Så er det bare å putte inn i (I):

[tex]a = b\cdot c \,\,\Rightarrow\,\, a^\prime = \left(d^\prime\cdot e + d\cdot e^\prime \right)\cdot c + b\cdot c^\prime[/tex]

Jeg ville nok gått for en metode der jeg gjør slik: [tex]D[x^2 \cdot cos^4 x e^x] = D[x^2 \cdot e^x] \cdot cos^4 x + x^2 \cdot e^x \cdot D[cos^4 x][/tex] slik at man må ta produktregelen to ganger. Man putter altså bare inn et eksta sett papranteser for å kunne bruke produktregelen. Jeg mener det skal være lov..

Hint

[tex]\frac{{d\left( {uvw} \right)}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dx}}vw + u\frac{{dv}}{{dx}}w + uv\frac{{dw}}{{dx}}[/tex]

Mange som ville hjelpe her ja ^^

For et vilkårlig antall faktorer, prøv logaritmisk derivasjon, og se hva du ender opp med.

TrulsBR skrev:For et vilkårlig antall faktorer, prøv logaritmisk derivasjon, og se hva du ender opp med.

Okey, leste litt om logaritmisk derivasjon. Som jeg har skjønt det er det slik at den deriverte av en logaritme av en funksjon, f(x), blir alltid

f'(x)/f(x)

ganger vi dette med f(x) blir svaret f'(x). Dermed er det ln|f(x)| og regneregler for logaritmer som blir anvendt som egentlig løser problemet mitt.

Endelige svaret mitt ble:

[tex]D[f(x] = ln|x^2*cos^4x*e^x|[/tex]

[tex]ln|x^2| + ln|cos^4x| + ln|e^x|[/tex]

[tex]2ln|x| + 4ln|cosx| + x[/tex]

Vi deriverer dette og får:

[tex]2/x - 4/tanx +1[/tex]

som vi ganger med den opprinnelige funksjonen vår, f(x):

[tex](2/x - 4/tanx +1)*x^2*cos^4x*e^x[/tex]

Sjekket med fasit og dette stemmer.