Har et tverrsnitt av en bjelke. Det ser ut som en T liggende på hodet.
Bredden på stammen av T´en er 3mm og høyden er 16mm. Mens hodet på T´en er 16mm bred og 3mm høy.
Håper det var godt nok forklart hvordan tverrsnittet ser ut.
Skal her finne arealsenteret og arealtreghetsmomenter.
Noen som kan vise meg veien?
Arealsenter og arealtreghetsmoment
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tyngdepunktet til "hodet" ligger der diagonalene krysser, det samme gjelder for "stammen". Siden de er like store er tyngden av dem like stor, så man kan anta at tyngdepunktet for det hele er midt mellom de to tyngdepunktene for hver av delene, det er ihvertfall slik jeg intuitivt tenkte.
La origo være i krysningspunktet mellom de to diagonalene til f.eks. hodet.
Symmetrier gjør at integralet over hodet er 0.
Det som gjenstår er å beregne [tex]\frac{1}{2\cdot3\cdot 16}\iint \vec{r}\,dxdy[/tex] over området til stammen. Her har vi antatt at tettheten er 1 og homogen.
Symmetrier gjør at integralet over hodet er 0.
Det som gjenstår er å beregne [tex]\frac{1}{2\cdot3\cdot 16}\iint \vec{r}\,dxdy[/tex] over området til stammen. Her har vi antatt at tettheten er 1 og homogen.
Sist redigert av Gustav den 17/11-2009 10:10, redigert 1 gang totalt.
Altså, arealsenteret/massesenteret/tyngdepunktet, er definert for kontinuerlige legemer som et integral; [tex]\frac1M\int \vec{r}\,dm[/tex]
Med litt misbruk av notasjon kan vi skrive:
[tex]dm=\rho dA=\rho\,dx\,dy[/tex]
I denne oppgaven kan vi sette at tettheten [tex]\rho =1[/tex]. Da blir total masse M lik totalt areal av hele tverrsnittet.
[tex]\vec{r}[/tex] er posisjonsvektor. Siden vi er nødt til å velge en eller annen referanse (altså bestemme hvor origo er) er det lettvint å velge krysningspunktet for diagonalene i en av rektanglene (hodet eller stammen).
Integralet i definisjonen er over hele tverrsnittet. Siden integrasjonen kan splittes opp i en sum over delmengder, kan vi først se på integralet over hodet. Pga symmetrien vil dette integralet bli 0. (se for deg at du summerer par av vektorer med motsatt retning og lik lengde. Da vil summen bli 0-vektoren. )
Så det gjenstår å integrere over stammen. Vektorer kan skrives [tex]\vec{r}=(x,y)=xi+yj[/tex] der i og j er enhetsvektorene langs henholdsvis x- og y-aksen. Så integralet av en vektor kan splittes opp i en sum av to integralet. Enhetsvektorer er konstante og kan settes utenfor integraltegnet.
Du vi ende opp med integral på formen [tex]C\vec{j}\int_a^b y\,dy[/tex] der jeg overlater deg til å finne konstanten C og integrasjonsgrensene a og b. (C er gitt ved blant annet total masse M og grensene kan sees ut fra geometrien til tverrsnittet. Du må blant annet beregne avstanden fra punktet der diagonalene i hodet krysser til bunnen av stammen).
Med litt misbruk av notasjon kan vi skrive:
[tex]dm=\rho dA=\rho\,dx\,dy[/tex]
I denne oppgaven kan vi sette at tettheten [tex]\rho =1[/tex]. Da blir total masse M lik totalt areal av hele tverrsnittet.
[tex]\vec{r}[/tex] er posisjonsvektor. Siden vi er nødt til å velge en eller annen referanse (altså bestemme hvor origo er) er det lettvint å velge krysningspunktet for diagonalene i en av rektanglene (hodet eller stammen).
Integralet i definisjonen er over hele tverrsnittet. Siden integrasjonen kan splittes opp i en sum over delmengder, kan vi først se på integralet over hodet. Pga symmetrien vil dette integralet bli 0. (se for deg at du summerer par av vektorer med motsatt retning og lik lengde. Da vil summen bli 0-vektoren. )
Så det gjenstår å integrere over stammen. Vektorer kan skrives [tex]\vec{r}=(x,y)=xi+yj[/tex] der i og j er enhetsvektorene langs henholdsvis x- og y-aksen. Så integralet av en vektor kan splittes opp i en sum av to integralet. Enhetsvektorer er konstante og kan settes utenfor integraltegnet.
Du vi ende opp med integral på formen [tex]C\vec{j}\int_a^b y\,dy[/tex] der jeg overlater deg til å finne konstanten C og integrasjonsgrensene a og b. (C er gitt ved blant annet total masse M og grensene kan sees ut fra geometrien til tverrsnittet. Du må blant annet beregne avstanden fra punktet der diagonalene i hodet krysser til bunnen av stammen).