matematikk.net

Prøver å vise at [tex]sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex], ved hjelp av eulers formel.
Men greier ikke helt å starte.

noen tips?

greide den

blei litt usikker på svaret mitt. føler at jeg viser dette noenlunde baklengs:

[tex]{e^{iz}} = \cos z + i\sin z[/tex]

[tex]{e^{ - iz}} = \cos z - \sin z[/tex]


[tex]{e^{iz}} - {e^{ - iz}} = (\cos z + i\sin z) - (\cos z - i\sin z)[/tex]

[tex]2i\sin z = {e^{iz}} - {e^{ - iz}}[/tex]

[tex]\sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex]


er det et tilfredstillende svar på oppgaven, eller burde jeg gå fram en annen vei?

Det står jo at du skal bruke Eulers formel så det er jo ikke bakvendt.

ny oppgave, nytt spørsmål:

skal finne:

[tex]\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]\cos ({z_1} + {z_2})[/tex]

starter med:

[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = \cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]

[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = {e^{i{z_1}}} \cdot {e^{i{z_2}}} = (\cos ({z_1}) + i\sin ({z_1})i\sin ({z_1})) \cdot (\cos ({z_2}) + i\sin ({z_2}))[/tex]


og ender opp med:

[tex]\cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2}) = (\cos ({z_1})\cos ({z_2}) - \sin ({z_1})\sin ({z_2})) + i(\sin ({z_1})\cos ({z_2}) + \cos ({z_1})\sin ({z_2}))[/tex]

hva nå? kan jeg gjøre det så enkelt at jeg kan isolere realdel og imaginærdel hver for seg. Da sitter jeg igjen med svaret, men jeg tør ikke

Ja, du kan ta realdelen og imaginærdelen hver for seg, for et komplekst tall [tex]z_1[/tex] er likt et "annet" komplekst tall [tex]z_2[/tex] hvis og bare hvis realdelen og imaginærdelen i begge tallene er like. [tex]a+ib=c+id \Leftrightarrow a=c \text{ og } b=d[/tex]