matematikk.net

Fra en borerigg B til havs, 24 km fra kysten, skal det legges en rørledning for olje til et raffineri på land. Raffineriet R ligger ved kysten 40 km fra det punktet på land som er nærmest boreriggen. Det koster 600 000 kr per km å legge rørledningen på havbunnen, mens det koster 360 000 per km å legge rørledningen på land. Hvordan skal rørledningen legges for å minimalisere kostnadene, og hva er kostnaden da?

egen vurdering:
Strekker man rette 2 linjer mellom raffineriet og boreriggen skal den linja som "ikke er på land" minimaliseres, og den andre maksimaliseres. Har problemer med å se hvordan jeg skal gripe ann oppgaven. Antar det skal brukes et intergral, der pytagoras spiller inn på noen måte.

Noen forslag?:)

Optimaliseringsproblemer løses ved at du uttrykker problemet ditt som en funksjon av en eller annen størrelse for deretter å derivere funksjonen og finne maksimums og minimumspunkter på denne funksjonen, altså der [tex]f^\prime = 0[/tex] og dette vil da være dine optimale verdier. Det inngår veldig ofte en del geometri også, der du f.eks må bruke pythagoras for å uttrykke en størrelse ved hjelp av en annen.

Føler vi trenger illustrasjon for å hjelpe deg med denne eksakte oppgaven. Tenker man seg en rett linje fra raffineriet til boreriggen, som også går gjennom det punktet å land som er nærmest boreriggen, så er det jo bare til å legge rørene rett frem. Men du finner vel kanskje ut av det nå.

Det er jo det åpenbare, men det virker nesten for lett at de to linjene danner en rettvinklet trekant!

Problemet mitt er at jeg sliter med å få et utrykk av det.

Jeg regner med at det ser noe slik ut:

z^2=x^2+y^2 (deriverer implisitt)----> 2z*z'=2y*y'+2x*x'

Er jeg på jordet med dette?

Hvordan kom du fram til utrykket?

Siden prisen er forskjellig om den er lagt i sjø eller på land, må kostnadene for røret bli tatt med i regnestykket. Det har seg slik at hvis du legger hele røret i sjøen, blir det dyrt, legger du den strakeste veg til land blir det dyrt. Du må finne ut et punkt mellom de to ilandføringspunktene som gir billigst totalkostnad.

Tok i betraktning at rørene dannet en rettvinklet trekant, men ser jo problemet med kostnaddene!

er helt blank for å være ærlig!:P

Slik er det jeg ser for meg problemet, hvor C=boreriggen, B= raffineriet, A=er det punktet på land som er nærmest boreriggen og D er punktet ledningene må treffe AB slik at kostnaden blir minst mulig. (Merk at punktet D kan ligge hvor som helst, tegningen er bare til hjelp).

Kall [tex]AD=x[/tex], og ettersom [tex]AB=40 km[/tex] er [tex]DB=40 - x[/tex]

Punktene ADC danner en rettvinklet trekant, hvor [tex]AC=24[/tex]

Følgelig blir CD, ved pytagoras = [tex]sqrt{24^2+x^2}[/tex]

Ut i fra dette kan vi lage en funksjon for kostnaden K

[tex]K(x)=600 000 \cdot sqrt{24^2+x^2}+360 000\cdot (40-x)[/tex] Hvor [tex] x \in [0,40][/tex] (Siden D må ligge på AB).

Bruk denne funksjonen til å finne det kritiske punktet du leiter etter.

Hjertelig takk!

Denne må da deriveres sant ?

Jepp, ta en titt på det Betelgeuse skrev.