matematikk.net

Oppgaven går ut på å finne v(t)

har kommet frem til et utrykk mg-kv^2=0

- Setter opp ligningen slik mv'+kv^2=mg ,v(0)=0

Hva blir den karakteristiske ligningen her?

Ser ikke helt hvordan du kommer fra uttrykket ditt til differensiallikningnen... Videre lurer jeg på hvilket fysisk problem du faktisk beskriver? Er det slik at g, som er tyngdeakselereasjonen varierer? Isåfall har du rett i at [tex]g = v^\prime[/tex]. Jeg prøvde meg på dette og endte opp med en separabel difflikning.

[tex]mg - kv^2 = 0 \Rightarrow \frac{dv}{dt} = \frac{k}{m}v^2 \Rightarrow \int \frac{1}{v^2}dv = \int \frac{k}{m} dt[/tex]

Et legme som er i fritt fall blir påvirket av kraften -kv^2
-legeme har massen m
-ved tidspunktet t=0 er hastigheten v(0)=0
skal bruke m*a til å finne v(t):)

Det som ødelegger for meg er at v'en er i andre potens:P

F= m v' ->mg-kv^2=mv' ?

kan man ikke skrive ?

[tex]\frac{dv}{{(\sqrt{mg}-\sqrt kv})(\sqrt{mg}+\sqrt kv)}=\frac{dt}{m}[/tex]

Hvordan kom du frem til den Janhaa?

Er så lenge siden jeg har hatt noe fysikk i det hele tatt så jeg husker ikke helt, men tenker meg at leddet [tex]-kv^2[/tex] er bidraget fra luftmotstand? Isåfall blir det ikke riktig å ha utgangspunktet:

[tex]\sum F = mg - kv^2 = ma[/tex]

Akkurat som du skrev plank.

Jeg tror ikke du kan løse likningen ved karakteristisk likning eller noen av de andre lineære medtodene akkurat fordi at den ikke er lineær. Jeg ser heller ikke hvordan den nå kan separeres.

[tex]m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2[/tex]

[tex]m\frac{dv}{dt}=m \left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]

[tex]\frac{dv}{dt}=\left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]

[tex]\int \frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int dt [/tex]

[tex]g-\frac{k}{m}v^2=\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]

[tex]\frac{1}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\frac{A}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}+\frac{B}{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}[/tex]

[tex]1=A\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) + B\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]

[tex]x=\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2A\cdot sqrt{g} \Rightarrow A=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]

[tex]x=-\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2B\cdot sqrt{g} \Rightarrow B=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]

[tex]\int \frac{dv}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\int dt [/tex]

[tex]\int \frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v\right )}+\frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v\right )} \ dv=\int \ dt[/tex]

[tex]\frac{ln |{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v|}}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}-\frac{ln |sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v|}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}=t+C[/tex]

[tex]\frac{1}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}\cdot ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=t+C[/tex]

[tex]ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=2\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C[/tex]

[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex]

Kall [tex]C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex] for z, for å gjøre regningen litt kjappere.

[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=z[/tex]

[tex]sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \Leftrightarrow sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v [/tex]

[tex]sqrt{\frac{k}{m}}v+z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-sqrt{g} \Leftrightarrow sqrt{\frac{k}{m}}v(z+1)=sqrt{g}(z-1)[/tex]

[tex]v=\frac{sqrt{g}}{sqrt {\frac{k}{m}}}\cdot \frac{z-1}{z+1}[/tex]

[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]

[tex]v(0)=0 \Leftrightarrow sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{C-1}{C+1}=0 \Leftrightarrow C=1[/tex]

[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]

Ps: Gøy oppgave, men litt av et tex mareritt..

Jammen ser man det Andreas! Den var fin