matematikk.net

Hei, lenge siden sist jeg brukte latex, så beklager at jeg utelater det. Del av en opgave følger, og jeg står fast.

Ønsker å finne residuen av følgende utrykk:

f(z) = z^n * e^(1/z)


Singulariteten er (åpenbart) i z=0, så har tenkt på grenseverdien når z -> 0 z^(n+1) * e^(1/z), men kommer ikke noen vei med det.


På forhånd takk!


EDIT: skulle det være av betydning, så er n et positivt heltall (noe det forøvrig også er selv om det ikke skulle være av betydning ;p )

Mulig jeg angriper det på feil måte, men det første som slår meg er at hvis du skriver ut exp(1/z) som en sum så vil du kunne forenkle litt


[tex]z^n\cdot exp(1/z) = z^n\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{z^n}\cdot\frac1{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}=exp{1}\approx 2.71828...[/tex]

z^n er vel ikke det samme som [symbol:sum] z^n ?

Ideen med å se på rekkeutvikla er rett, men du kan ikke bruke n som indekseringsvariabel.

Gikk litt fort i svingene gitt. Får prøve på nytt, en eller annen gang må jeg jo få frisket opp det vi lærte i kompleks analyse :p

Prøver igjen (så får noen andre si i fra hvis jeg nok en gang er på bærtur):

[tex]\oint_C f(z)\mathrm{d}z = \sum_{k=0}^{\infty}\oint_C\frac{z^{(n-k)}}{k!}\mathrm{d}z[/tex]

Vet at

[tex]\oint_C \frac{1}{z^k}\mathrm{d}z = 0\, \forall k\in\mathbb{Z}[/tex] for [tex]k\not{=}1[/tex].

Dette medfører at [tex]\oint_C f(z)\mathrm{d}z[/tex] kan forenkles til

[tex]\oint_C\frac{1}{(n+1)!z}\mathrm{d}z = \frac{2\pi i}{(n+1)!}[/tex]

(får kun bidrag ulikt null når [tex]k=n+1[/tex])

som kan være helt riv ruskende galt mtp at det er tre år siden jeg hadde dette, eller et steg nærmere riktig løsning

Takk! Dette begynner å ligne på noe

Jeg er ikke heeelt med på første linja (selv om jeg føler jeg burde være det), så fint om du kunne kommet med en punchline der? ;D Ellers ser det veldig bra ut.

Aksiom skrev:Takk! Dette begynner å ligne på noe

Jeg er ikke heeelt med på første linja (selv om jeg føler jeg burde være det), så fint om du kunne kommet med en punchline der? ;D Ellers ser det veldig bra ut.

Er svaret noe i nærheten av det som er riktig?

Uansett, det eneste jeg har gjort i første linja er å sette inn for [tex]f(z)=z^n exp(1/z) = z^n\sum_{k=0}^\infty \frac{(1/z)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{(n-k)}}{k!}[/tex].

Selvsagt! Svaret er også helt korrekt!

Nå har claudeShannon regnet ut integralet for deg, men ikke residuen som det ble spurt om.

Denne oppgaven løses enklest ved å rekkeutvikle uttrykket:
[tex]z^n e^{\frac{1}{z}}=z^n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{z^kk!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{z^{k-n}k!} [/tex]

Vi ønsker å finne koeffisienten foran [tex]\frac{1}{z}[/tex]. Fra rekken ser vi at denne er [tex]\frac{1}{(1+n)!}[/tex]. (som stemmer overens med resultatene claudeShannon fikk)