matematikk.net

Finn alle komplekse løsninger av likningen
[tex] \: (1+z)^5=(1-z)^5[/tex]

for eksempel uttrykt ved [tex]\: w=e^{\frac{2\pi i}{5}[/tex]

Prøvde slik:
Da jeg åpnet opp begge parentesene og trakk den høyre fra den venstre fikk jeg likningen:

[tex]3z^5+16z^3+8z^2+6z=0[/tex]

Hvis dette var riktig å gjøre, hvordan løser jeg denne likningen for å finne de komplekse løsningene av denne likningen?

Hvis det var en enklere vei til å finne disse komplekse løsningene så setter jeg pris på å få vite det.

Du har nok slurvet litt da du trakk høyre side fra venstre side, så gjør det en gang til.

Alternativt finnes det en lettere løsning, ja. Den begynner sånn:
[tex](1+z)^5=(1-z^5)[/tex]
[tex]\frac{(1+z)^5} {(1-z)^5} =1[/tex]
[tex]\( \frac{1+z} {1-z} \)^5 = 1[/tex]
Ser du hva du kan gjøre her da?

Hva mener du at man kan gjøre med det slutt-uttrykket som du kommer til ?

Hint: Sett [tex]w=\frac{1+z}{1-z}[/tex] og ta femteroten på begge sider.

[tex]w^{\frac{1}{5}}=\frac{(1+z)^{\frac{1}{5}}}{(1-z)^{\frac{1}{5}}[/tex]

Hvordan kan dette føre til(hvis det kan føre til), følgende?( som er innhentet fra fasiten og som er fasitsvaret for oppgaven):

[tex]\frac{w^{k}-1}{w^{k}+1}[/tex]

for i=1,2,3,4,5.

Hva vil dette fasitsvaret for denne oppgaven si?

Og hva står den k for?,er w^k for løsningen av likningen der det ene leddet er realdelen og den andre er imaginærdelen? Altså, hvis man skal eksempel sjekke for i=1,2,3,4,5, hvordan kan man sette dette inn i dette fasitsvaret for å se om det stemmer, med andre ord, hvor kom dette uttrykket fra og hvordan får jeg åpnet dette uttrykket for å få satt inn verdien 1,2,3,4,5 for i ?

Wentworth skrev:[tex]w^{\frac{1}{5}}=\frac{(1+z)^{\frac{1}{5}}}{(1-z)^{\frac{1}{5}}[/tex]

Hvordan kan dette føre til(hvis det kan føre til), følgende?( som er innhentet fra fasiten og som er fasitsvaret for oppgaven):

[tex]\frac{w^{k}-1}{w^{k}+1}[/tex]

for i=1,2,3,4,5.

Hva vil dette fasitsvaret for denne oppgaven si?

Og hva står den k for?,er w^k for løsningen av likningen der det ene leddet er realdelen og den andre er imaginærdelen? Altså, hvis man skal eksempel sjekke for i=1,2,3,4,5, hvordan kan man sette dette inn i dette fasitsvaret for å se om det stemmer, med andre ord, hvor kom dette uttrykket fra og hvordan får jeg åpnet dette uttrykket for å få satt inn verdien 1,2,3,4,5 for i ?

Ta femteroten på hver side av ligningen [tex]w^5 = 1[/tex]

Da får man;

[tex]w=e^{\frac{i 2\pi}{5} }=cos(\frac{i2\pi}{5})+i sin(\frac{i2\pi}{5})[/tex]

Hvordan kan dette sammenlignes med fasitsvaret?Og hva står w^k for?

Jeg har aldri gjort noe slikt før, men hva med å hente frem igjen brøken du substituerte med w?

Jeg har altså kommet fram til:
[tex]\frac{1+z}{1-z}=e^{\frac{i 2 \pi}{5} }=cos(\frac{2\pi}{5})+i sin(\frac{i2\pi}{5})[/tex]

Fasiten sier at svaret er:
[tex]\frac{w^{k}-1}{w^{k}+1}[/tex]

Jeg går nok utifra at[tex]\: w^{k} \: [/tex] står for uttrykket [tex]\: e^{\frac{i2\pi}{5}}[/tex]

Og hvis man løser det uttryket jeg kom fram til med hensyn på z så får man fasitsvaret.

Altså ganget med (1-z) på begge sider og flyttet 1 tall over og samtidig skiftet fortegn og fikk:
[tex]z=\frac{e^{\frac{i2\pi}{5}}-1}{e^{\frac{i2\pi}{5}}+1}[/tex]

Altså det samme som fasitsvar:
[tex]\frac{w^{k}-1}{w^{k}+1}[/tex]

og dette gjelder altså for i=1,2,3,4,5.

Men da jeg prøvde å sette inn for [tex]\: i \:[/tex]i utrykket for så å sette inn for i den opprinnelige likningen for å sjekke om venstresiden var lik høyresiden så stemte det ikke, altså;

Først observerer vi at :
[tex]e^{\frac{ 2i \pi}{5} }=cos(\frac{2\pi}{5})+i sin(\frac{i2\pi}{5})[/tex]

Jeg velger 3 tallet og setter inn for i og ender til slutt med å få sjekket om ;
[tex](1+z)^5=(1-z)^5[/tex]

det viser seg at venstre siden ikke er lik høyre siden.

Så hvor ligger feilen og hvordan får man rettet denne opp?

[tex]i[/tex] er nå en konstant da...

Det du kan gjøre er å bruke at

[tex]1=e^{0i+2\pi ki}[/tex] for alle heltall k. Tar du femterota av dette får du at

[tex]\frac{1+z}{1-z}=\sqrt[5]{1}=e^{\frac{2\pi k i}{5}}[/tex] for k=0,1,2,3,4. Setter du [tex]w=e^{\frac{2\pi i}{5}}[/tex] er du nesten i mål.

plutarco skrev:[tex]i[/tex] er nå en konstant da...

Det du kan gjøre er å bruke at

[tex]1=e^{0i+2\pi ki}[/tex] for alle heltall k. Tar du femterota av dette får du at

[tex]\frac{1+z}{1-z}=\sqrt[5]{1}=e^{\frac{2\pi k i}{5}}[/tex] for k=0,1,2,3,4. Setter du [tex]w=e^{\frac{2\pi i}{5}}[/tex] er du nesten i mål.

Ifølge fasiten er ikke [tex]\: i \:[/tex] konstant.

I fasiten står det klart og tydelig følgende svar for denne oppgaven:

[tex]\frac{w^{k}-1}{w^{k}+1} \: [/tex]for[tex]\: i=1,2,3,4,5 \:[/tex]

Jeg har jo allerede løst for z i mitt forrige innlegg og det gjenstod da bare å sette inn verdiene for [tex]\: i \:[/tex]. Men det stemmer ikke for verdiene 1,2,3,4,5 da jeg fant verdien for z etter at jeg satte verdiene for i inn i z uttrykket (i forrige innlegg), for å sjekke om venstre siden var lik høyre siden i den opprinnelige ligningen.

Og hvorfor trenger jeg å sette [tex]\: w= e^{\frac{i2\pi}{5}\:[/tex], når jeg allerede har løst likningen for z?

Problemet ligger altså i at venstre siden ikke er lik høyre siden.Sjekk selv og si ifra om hva du merker.

Jeg har ikke regnet oppgaven, men det virker som om du blander i, den imaginære enheten, og k, som er indekstallet i oppgaven.

F.eks her:

Wentworth skrev:Jeg har altså kommet fram til:
[tex]e^{\frac{ 2i \pi}{5} }=cos(\frac{2\pi}{5})+i sin(\frac{i2\pi}{5})[/tex]

Det skal ikke være noen i i uttykket i sinus.

Markonan skrev:Jeg har ikke regnet oppgaven, men det virker som om du blander i, den imaginære enheten, og k, som er indekstallet i oppgaven.

F.eks her:

Wentworth skrev:Jeg har altså kommet fram til:
[tex]e^{\frac{ 2i \pi}{5} }=cos(\frac{2\pi}{5})+i sin(\frac{i2\pi}{5})[/tex]

Det skal ikke være noen i i uttykket i sinus.

Det skal ikke være i foran 2pi.Men det er riktig at det er i foran sin.(bokstavelig talt)

Hvorfor er ikke høyre siden lik venstresiden da. Du er vel enig i at jeg har funnet riktig løsningsuttrykk for z?Hvis ja, da burde jo venstre side være lik høyre side i den opprinnelige likningen.Men det får jeg altså ikke til å stemme.

For å ta oppgaven på nytt:

Finn alle komplekse løsninger av ligningen
[tex](1+z)^5=(1-z)^5[/tex]

for eksempel uttrykt ved [tex]\: w=e^{\frac{2\pi}{5}[/tex]

Jeg har funnet løsningen:
[tex]z= \frac{e^{\frac{i2\pi}{5} -1}}{{e^{\frac{i2\pi}{5}+1}}[/tex]

Og når jeg nå sette inn for [tex]\:i=1,2,3,4,5 \:[/tex] i ligningen for z for å finne z og deretter setter denne z verdien inn for følgende ligning for å sjekke om venstre siden er lik høyresiden :
[tex](1+z)^5=(1-z)^5[/tex]

Så får jeg venstre side ulik høyreside.

Hvordan får man dette til å stemme?

Står det feil i fasiten?

Fredrik tror jeg har lest denne boka som er skrevet av Tom Lindstrøm, kanksje han kan fortelle hvordan han løste denne oppgaven når han gikk gjennom denne boka?

Det er en trykkfeil i kalkulus, skal være k = 1,2,3,4,5.

Vel da har jo jeg løst oppgaven riktig.

Men jeg ville sjekke om venstre siden var lik høyre siden, og for det tror jeg ikke man kan innsette i kalkulatoren casio for å sjekke det ut.Man må nok regne det for hånd og trekke sammen går jeg utifra.