Finn residue

[FredrikM]

Dette er en av eksamensoppgavene jeg fikk i dag

Determine what kind of singularity
[tex]f(z)=\frac{1}{1-e^{-z}}[/tex]
har på z=0 og regn ut Res(f;0).

Dette er den eneste oppgaven jeg tror jeg kanskje gjorde det feil på. Jeg fikk at Res(0)=0, men lignende utregninger ga meg 1, så jeg er litt usikker. Framgangsmåten min var også litt tvilsom.

Om noen kunne regnet dette ut for meg, så blir jeg glad.

"Edit": Iflg WolframAlpha "http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 28-z%29%29" er svaret 1. Og det er irriterende. Grr.

Men likevel : om noen hadde regnet ut svaret sitt, så hadde jeg blitt glad.

[TrulsBR]

Siden du har en simpel pol blir residuet:
[tex]\frac{1}{(1-e^{-z})^{\prime}} |_{z=0} = e^{z} |_{z=0} = 1[/tex]

[FredrikM]

Gikk og tenkte på det et par minutter etter jeg postet denne posten. Og det er virkelig surt. Oppgaven er jo så enkel. På grunn av alle "nullene" i Laurent-utviklingen, trodde jeg dette måtte være en essensiell singularitet. (dum!!!)

Så der røk nok A-en. Hadde jeg bare tenkt *litt* mer på den. For jeg kom liksom på løsningen på vei hjem fra eksamen. Grrr.

[Markonan]

Da tok vi eksamen sammen i dag. Jeg hadde også MAT2300 i dag!

Jeg løste den oppgaven ved å ta grenseverdien når z->0, da går funksjonen mot uendelig og vi har en pol. Deretter så jeg på 1/f, som har et enkelt nullpunkt når z=0 som betyr at f har en enkel pol.

Beregnet residyen ved å ta
[tex]\lim_{z\rightarrow 0}\;zf(z)\; = \;\lim_{z\rightarrow 0}\;\frac{z}{1-e^{-z}}\; \Rightarrow^{L^,Hop} \lim_{z\rightarrow 0} \;\frac{1}{e^{-z}} = 1[/tex]

Selv klarte jeg ikke oppgave 4b.
Hvordan løste du den?

Hva fikk du forresten på oppgave 2? Jeg fikk
[tex]\frac{\sqrt{2}\pi}{2}[/tex].
Synes svaret så litt rart ut, og kan ikke utelukke at jeg gjorde en liten feil i den litt omstendige regningen.

[Markonan]

Sjekket matlab.

Kode: Velg alt

>> int(1/(x^4+1),-Inf, Inf)
 
ans =
 
1/2*pi*2^(1/2)

Så jeg fikk riktig!

[FredrikM]

Oppgave 4b klarte jeg veldig fint. Fra a) har du vist at
[tex](\frac{2n}{n})=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}} dz[/tex]

(brøken skal egentlig være binomialgreie, men fant ikke ut hvordan jeg skriver det)

Dette er mindre enn eller lik lengden ganget med maksverdien på |z|=1:

Så:
[tex]\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}} dz \leq \text{max}_{|z|=1} |\frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}|=\text{max}_{|z|=1} |{(1+z)^{2n}}|[/tex]

Som etter litt regning viser seg å være [tex]4^n[/tex]

Fikk samme svar som deg på oppg 2.

Men går fremdeles og murrer etter 1c. Svaret virker så utrolig enkelt nå *etter* eksamen!

[Markonan]

Takker for svar. Jeg begynte å skrible ned noe, men var på galt spor.

Du (og jeg) kan håpe på at det er mange som gjør det skikkelig dårlig, så de justerer poenggrensene.

Forresten,
[tex]2n\choose n[/tex]

[FredrikM]

Ville vært veldig fint. For jeg tror jeg hadde alt annet rett, så jeg får bare nok bare en sterk B - og det er veldig kjedelig.

Fint. Får pugge den. Hvilke andre fag tar du/har du tatt, forresten? (pussig dette hvordan man vet hvem man er på nett, men ikke i "virkeligheten")

[Markonan]

Mattekursene jeg har tatt er
MAT1100-1120, MAT1300, MAT1700, MAT2700 og MAT2310
(og MAT1000, MAT1010 og MAT1030).

Jeg er på master i finansmatematikk og hadde MAT2300 som en rest av de obligatoriske bachelorkursene. Til våren skal jeg ta MAT4701, ECON4240 og et statistikk-kurs på 4000-nivå. Good times!

Ser ut som om du går for pur matematikk!

[FredrikM]

Interessant! Venner av meg anbefaler mikroøkonomi. Kan du si deg enig?

Til våren blir det MAT2000 (Prosjektarbeid), MAT2200 (Grupper, ringer), MAT2400 (Anaylse 1), og MAT4000 (Tall, rom og linearitet).

[Markonan]

Hadde prosjekt i STK-MAT2011. Det synes jeg var veldig morsomt, men jeg var også så heldig å få en engasjert og hjelpsom phd-student som veileder.

MAT1700 er et ganske interessant kurs (spesielt om makroøkonomi) men ikke fra et matematisk synspunkt. Det er veldig trivielt det man holder på med; og det er faktisk nesten helt likt (dvs bruker samme lærebok) som kurs som holdes på BI - og det sier vel egentlig alt.