Vis at løsningene for følgende ligning ligger på en sirkel i det komplekse plan:
[tex]z^6-8z^3+64[/tex]
Løsninger:
[tex]z_1,z_2 =2e^{+- i \frac{\pi}{9}} \: , \: z_3,z_4=2e^{+- i \frac{7\pi}{9}} \: , \: z_5,z_6=2e^{+- i \frac{13\pi}{9}} [/tex]
Antar jeg at sentrum til sirkelen ligger i origo får jeg sirkelligning:
[tex]x^2+y^2=r^2[/tex]
Der [tex]\: x= 2cos(\frac{\pi}{9}) , 2cos(\frac{-\pi}{9}),2cos(\frac{-7\pi}{9}),2cos(\frac{7\pi}{9}),2cos(\frac{13\pi}{9}),2cos(\frac{-13\pi}{9})[/tex]
Og der [tex]\: y=2isin(\frac{\pi}{9}), 2isin(\frac{-\pi}{9}), 2isin(\frac{7\pi}{9}),2isin(\frac{-7\pi}{9}),2isin(\frac{13\pi}{9}),2isin(\frac{-13\pi}{9})[/tex]
Når jeg da for eksempel setter inn for en av x og y i sirkelligningen får jeg;
[tex](2cos(\frac{\pi}{9}))^2+(2isin(\frac{\pi}{9}))^2=4cos(\frac{2\pi}{9})[/tex]
for en annen kombinasjon av x og y får jeg:
[tex](2cos(\frac{-7\pi}{9}))^2+ (2isin(\frac{13\pi}{9}))^2=-4cos(\frac{\pi}{9})[/tex]
Altså får jeg ikke at radiusen er den samme for alle løsningene, hvordan blir det riktig?
Sirkel
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Allerede her ser du at alle løsningene har samme radius da [tex]|r_i| = 2\; \forall i[/tex] - dermed vil alle løsningene ligge på en sirkel med radius [tex]r = 2[/tex] og vinkel [tex]\theta_i[/tex].Wentworth skrev: Løsninger:
[tex]z_1,z_2 =2e^{\pm i \frac{\pi}{9}} \: , \: z_3,z_4=2e^{\pm i \frac{7\pi}{9}} \: , \: z_5,z_6=2e^{\pm i \frac{13\pi}{9}} [/tex]
*ps: for [tex]\pm[/tex] skriver du \pm
