matematikk.net

En oppgave er gitt som følger:
La z være et komplekst tall slik at [tex]\: z^6=1\:[/tex], men [tex]\: z^2 \:[/tex] ulik 1.
Vis at

[tex]z^4+z^2+1=0[/tex]

Noen som vet hvordan denne oppgaven løses og som kan bidra med hjelp?

Forsøk divisjonen [tex]z^6-1:z^2-1[/tex] og se hva du får.

Når det er oppgitt at :
[tex]z^6=1[/tex]

Så bruker jeg en formel som gir meg de seks røttene for z^6=1.

Dermed har jeg altså:

[tex]z_1=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}i}{2} \: , \: z_2=- \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}i}{2} \: , \: z_3=-1 \: , \: z_4=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2} \: , \: z_5=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}i}{2} \: , \: z_6=1[/tex]

Så hvordan kan jeg bruke disse løsningene til å vise at :

[tex]z^4+z^2+1=0[/tex]

?

Bare sette inn for z?

Eller å løse[tex] z^4 + z^2 + 1 = 0[/tex] og vise at løsningene er de samme

[tex]\frac{x^6-1}{x^2-1}\,=\,z^4 + z^2 + 1 = 0[/tex]


[tex] {z^4} + {z^2} + 1 = 0[/tex]

[tex] u = {z^2}[/tex]

[tex] {u^2} + u + 1 = 0[/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 1 \right) \pm \sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt { - 3} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}[/tex]

[tex] {z^2} = - \frac{{1 \pm \sqrt {3i} }}{2}[/tex]

[tex] z = \pm \frac{1}{2}\sqrt { - 2 + 2i\sqrt 3 }[/tex]

[tex] \underline{\underline {z = \pm \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}}} [/tex]

Nå ser du vell det

Man trenger jo ikke finne løsninger i det hele tatt. Ved å konstatere at
[tex]z^6-1=(z^2-1)(z^4+z^2+1)[/tex] er det klart at likningen [tex]z^6-1=0[/tex] har de samme løsningene som likningen [tex]z^4+z^2+1=0[/tex], når det er gitt at [tex]z^2\ne 1[/tex].

fish skrev:Man trenger jo ikke finne løsninger i det hele tatt. Ved å konstatere at
[tex]z^6-1=(z^2-1)(z^4+z^2+1)[/tex] er det klart at likningen [tex]z^6-1=0[/tex] har de samme løsningene som likningen [tex]z^4+z^2+1=0[/tex], når det er gitt at [tex]z^2\ne 1[/tex].

Genial konstatering.