matematikk.net

Hvordan finner jeg det karakteristiske polynomet til f.eks en 3x3 matrise?
2x2 er jo lett, men sliter litt mere med større matriser.

La oss si at en matrise har disse søylene, [tex](0, 1, -1), (1, 0, 1)[/tex] og [tex](0, 0, 1)[/tex]

Hva blir formelen for å finne det karakteristiske polynomet da?

Det er det samme prinsippet.
For en 3x3 matrise A er det kar. polynomet p:

[tex]p(\lambda) = d\,e\,t(A-\lambda I)[/tex]

der I er identitetsmatrisen.

Du vet hvordan du finner determinanten til en 3x3 matrise?

Det er vel det på 3x3 matrise det stokker seg litt:S
Har prøvd [tex](a11 - \lambda )((a22 - \lambda )(a33 - \lambda) - a23*a32) - a21(a12*(a33 - \lambda ) - a13*a32) + a31(a12*a23 - a13(a22 - \lambda)[/tex]
Da ender jeg opp slik:
[tex](- \lambda )(- \lambda) - 1(1- \lambda) = \lambda^2 + \lambda - 1 = 0[/tex]


Men får ikke det rette svaret.
Ser du feilen her?

Kan vise utregningen sånn halveis:

For en 3x3 matrise:


Ser på en og en verdi i den første raden, stryker verdiene i samme kolonne, og tar 2x2 determinanten til de siste 4 leddene i matrisen. Slik:


som gir:
[tex]D(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})\,+\,a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{33}a_{21})\,+\,a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}) [/tex]

Du har matrisen [tex]A-\lambda I[/tex]:

[tex]A-\lambda I\ =\ \left( \begin{array}{ccc} -\lambda&1&-1\\1&-\lambda&1\\0&0&1-\lambda \end{array} \right)[/tex]

Ved å bruke fremgangsmåten over skal du etterhvert få:
[tex]p(\lambda) = -\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda - 1[/tex]

Ja, det var sånn jeg trodde det var.. Bare at jeg har regnet med a_11, a_21 og a_31. Blanda de litt når jeg skrev fremgangsmåten jeg brukte over her.

Men da har jeg jo vært inne på det hele tida da
Takk for at du fikk rydda litt opp i det for meg, må ha gjort en eller annen regnefeil et sted jeg da..
Takker