matematikk.net

Hvordan viser jeg at hvis følgen generert av Newtons metode for flere variabler (x[sub]1[/sub]=(x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]),
x[sub]n+1[/sub]=x[sub]n[/sub]-(F´(x[sub]n[/sub]))[sup]-1[/sup]F(x[sub]n[/sub]), n>=1) konvergerer mot et punkt x der F´(x) er inverterbar, så vil F(x)=0?

I grensen [tex]n\to\infty[/tex] vil (dersom F(x) og jacobimatrisen er kontinuerlige)

[tex]x=x-F^,(x)^{-1}F(x)[/tex]

så

[tex]F^,(x)^{-1}F(x)=0[/tex]

Da kan vi multiplisere fra venstre med matrisen [tex]F^,(x)[/tex] og får at [tex] F(x)=0[/tex].