Funksjonsoppgave

[student89]

Hei.
Er ny på forumet her, sette meg fast på en funksjosoppgave, jeg begynte å google litt, og fant dette forumet.
Hadde vært fint om noen kunne hjulpet meg her.

I denne oppgaven ser vi på funksjonen g(x) = 2x+1 / x +1 . Edit: 2x+1 / x-1 er oppgaven!
Df = R \ {1}

Slik ser altså funksjonen ut. Jeg er dessverre ganske blank på dette området.
Har prøvd meg litt frem, men får ikke til disse oppgavene

a) Når er f(x) = 0 , f(x) > 0 og f(x) < 0

b) Beregn f'(x). Når er f'(x) voksende og når er f(x) avtagende?
Jeg tror f'(x) = -1 / ( x-1)^2. Men jeg er ikke sikker på om det er rett?

c) Finn ligningen for tangenten til f(x) i punktet (2,5)

d) Beregn f''(x).Når er f(x) konveks og når er f'(x) konkav?

Slik ser altså oppgaven ut i sin helhet, om det er noen her som er flinke på funksjoner hadde det vært kjempe fint med litt hjelp!

Mvh Student89

[Nebuchadnezzar]

[tex] a) \qquad f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\frac{u}{v} = \frac{{u^{\tiny\prime}v - uv^{\tiny\prime}}}{{v^2 }} [/tex]

[tex] u = 2x + 1{\rm{ }}og{\rm{ }}u^{\tiny\prime} = 2[/tex]

[tex] v = x + 1{\rm{ }}og{\rm{ }}v^{\tiny\prime} = 1[/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)1}}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} = \frac{{2x + 2 - 2x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} [/tex]

[tex] b) \qquad Siden{\rm{ 1 > 0 for alle verdier er f}}\left( x \right){\rm{ }}alltid{\rm{ }}voksende{\rm{ }} [/tex]

[tex] {\rm{c)}}y = a\left( {x - x_1 } \right) + y_1 \Leftrightarrow y = f^{\tiny\prime}\left( n \right)\left( {x - n} \right) + f\left( n \right){\rm{ }}[/tex]

[tex] punktet{\rm{ }}\left( {2,5} \right)\,betyr{\rm{ }}at{\rm{ }}n = 2{\rm{ }}og{\rm{ }}at{\rm{ }}f\left( 2 \right) = 5 [/tex]

[tex] d) \qquad f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\frac{u}{v} = \frac{{u^{\tiny\prime}v - uv^{\tiny\prime}}}{{v^2 }} [/tex]

[tex] u = 1{\rm{ }}og{\rm{ }}u^{\tiny\prime} = 0 [/tex]
[tex] v = \left( {x + 1} \right)^2 {\rm{ }}og{\rm{ }}v^{\tiny\prime} = 2\left( {x + 1} \right) [/tex]

[tex] {\rm Resten\,{\rm{ klarer du selv \^\^ }}[/tex]

[gelali]

Jeg tror nok definisjonsmengden er D=R\{-1} og ikke 1. ^^

[student89]

Takker for svar!

Når det gjelder oppgave a) Er det endelig svar?
Jeg må vel gjøre noe mer for å svare på det oppgaven spør om?
a) Når er f(x) = 0 , f(x) > 0 og f(x) < 0 ?

b) Var klar tale, kjempe fint!

c) Oppgave c) skjønte jeg ikke helt. Der står jeg fortsatt fast.

d) Jeg skal nok klare å finne f''(x) men hva gjør jeg så for å vite om den er konkav eller konveks ?

Mvh Student89

[Markonan]

a)
Finn ut når funksjonen er null ved å løse ligningen f(x) = 0 og tegn f.eks opp et fortegnsskjema for å finne f(x)>0 eller <0.

[Nebuchadnezzar]

Så ikke helt hva oppgave 1 var... Trodde det bare var å derivere funksjonen ^^

A) Her ber de deg drøfte funksjonen, altså finne ut når den krysser x-aksen , når den er over x-asken og når den er under x-aksen. Her kan du tegne funksjonen eller lage en fortegnslinje.

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=573

C) er litt merkelig. Det jeg skrev opp var en formel for å finne tangenten til et vilkårlig punkt. Så er det bare å plotte inn de tallene du har inn i formelen.

d) Det betyr, når vender funksjonen den hule siden opp og når vender den den hule siden ned.

Hul side opp når f''(z)<0 og hul side ned når f''(z)>0 middag nå!

[student89]

Okey. takk skal du ha!

Da har jeg forstått alt i oppgaven (tror jeg) med unntak av del c)
Den skjønner jeg ikke fortsatt. beklager.
Slike avanserte formler syntes jeg er litt vanskelig. Står fast på den selv om du har vist meg en fin formel. Hadde satt veldig pris om du kunne vist meg hvordan den skal gjøres

Oppgave d) Da finner jeg den 2. deriverte og setter opp ett l
ignende skjema som i del a?

[Nebuchadnezzar]

d) Ja, her gjør du det samme som på oppgave a) Også merker du når den hule siden vender ned og når den hule siden vender opp... Merkelig forklart men om du tegner funksjonen ser du det.

c) Kan skrive en liknende oppgave, fant ikke så mye på nettet. Formelen heter i hvertfall "Et punkt formelen"

[tex]f(x)=x^2-4 [/tex]
[tex]f^{\tiny\prime}(x)=2x[/tex]

Finn tangenten til [tex]f(x)[/tex] når [tex]x = 3[/tex]

[tex]f(x)=x^2-4 \qquad \Rightarrow \qquad f(3)=3^2 - 4 \qquad \Rightarrow \qquad f(3)=5[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x)=2x \qquad \Rightarrow \qquad f^{\tiny\prime}(3)=6[/tex]

formelen er

[tex]y=a(x-x_1)+y_1[/tex] som er det samme som
[tex]y=f^{\tiny\prime}(n)(x-n)+f(n) [/tex]

Der n er en tilfeldig x verdi, og n er bare en vilkårlig valgt bokstav.
Vi skulle finne tangenten når x=3 da bare putter vi inn det vi har

[tex]y=f^{\tiny\prime}(n)(x-n)+f(n) [/tex]

[tex]y=f^{\tiny\prime}(3)(x-3)+f(3) [/tex]

[tex]y=6(x-3)+5[/tex]

[tex]y=6x-18+5[/tex]

[tex]y=6x-13[/tex]

EDIT: Takk Markonan

[student89]

Ahh, jeg forstod det stort sett.
Men når du bruker den siste formelen.. Hvor kommer utrykket inn i bildet?
Bruker du kun 3 tallet? Ser ikke hvor f(x) = x^2 -4 blir brukt hen?

[Markonan]

Er en liten skrivefeil i utregningene bare, men f(x) brukes jo her:

Finn tangenten til [tex]f(x)[/tex] når [tex]x = 3[/tex]

[tex]f(x)=x^2-4 \qquad \Rightarrow \qquad f(3)=3^2 - 4 \qquad \Rightarrow \qquad f(3)=5[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x)=2x \qquad \Rightarrow \qquad f^{\tiny\prime}(3)=6[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Føler meg litt dum nå Klarer ikke se den lille slurvefeilen i utregningen min...

Men jeg finner først [tex]f(n)[/tex] og [tex]f^{\tiny\prime}(n)[/tex] også putter jeg inn disse tallene i formelen. Er fullt mulig å gjøre det dirkete, men da er det mye lettere og gjøre slurv

[tex]f\left( x \right) = x^2 - 4{\rm{ }}og{\rm{ }}f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x [/tex]

[tex] y = f^{\tiny\prime}\left( n \right)\left( {x - n} \right) + f\left( n \right)[/tex]

[tex] y = \left( {2n} \right)\left( {x - n} \right) + \left( {n^2 - 4} \right) [/tex]

[tex] y = \left( {2 \cdot 3} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {3^2 - 4} \right) [/tex]

[tex] y = \left( 6 \right)\left( {x - 3} \right) + \left( 5 \right) [/tex]

[tex] y = 6x - 18 + 5 [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = 6x - 13{\rm{ }}}} [/tex]

[Markonan]

Føler meg litt dum nå Klarer ikke se den lille slurvefeilen i utregningen min...

Ah, jeg rettet opp i det jeg siterte. Se innlegget ditt.
Slurvefeil gjør vi alle sammen. Til og med professorene gjør det!

[student89]

Veldig god hjelp å få, tusen takk!

Men oppgave 1 c) Har jeg ikke helt fått til selv om dere har gitt mer formelen, kunne dere hjulpet meg med å løse den?

1 d) Når jeg setter opp dette skjema, er det slik av positve verdier betyr at den er konkav ( Rette linjer ) og negative verdier ( Stipplede linjer ) betyr at den er konveks?


Mvh Student89

[Nebuchadnezzar]

Bare prøv deg på en utregning på c) så skal vi hjelpe deg der du eventuelt står fast / har regnet feil

d) "Hvis du er komfortabel med engelsk inneholder "concave" ordet cave, som betyr hule, dvs. buler innover" negativ = konveks og positiv = konkav
Tror jeg, bare å rette på meg om jeg tar feil.

[wingeer]

Jeg husker selv jeg syntes det var guffent å finne tangenten til punktet en gang i tiden, men alt kan løses ved intuisjon!
Du vet hvordan formelen for ei rett linje ser ut, gjør du ikke? y=ax+b, hvor a er stigningstallet til linja, og b er punktet den skjærer y-aksen. Siden stigningstallet er definert som:
[tex]a= \frac{(y-y_0)}{(x-x_0)}[/tex]. Om du løser dette uttrykket for y, får du at [tex] y=a(x-x_0) + y_0[/tex] som du tydelig kan se ligner på formelen for ei rett linje.
Om vi nå ønsker å finne tangenten til punktet [tex](x_0,y_0)[/tex] finner vi først stigningstallet i [tex]x_0[/tex], som faktisk er den deriverte i det punktet, og putter inn informasjonen i formelen vi har "utledet". Håper dette gjør ting litt klarere for deg.