Midtveisoppgave mat1110

[Betelgeuse]

Fikk denne oppgaven på midtveis og den så ut som en perfekt oppgave til å bruke greens theorem på, men dette viste seg å være vanskelig. Når jeg brukte det fikk jeg ikke et av svaralternativene, så jeg endte opp med å parametrisere kurven og til slutt få null.. Noe som viste seg å være riktig. Spørsmålet mitt er om det er noen som ser hvorfor greens theorem ikke fungerer på denne oppgaven? Eller om det fungerer bare at jeg ikke har regnet riktig. Svaret jeg fikk når jeg brukte greens theorem var -3.

Sett [tex]F = (y^2, x^2)[/tex] og la [tex]C[/tex] være kurven langs sidene til trekanten med hjørner i [tex](0,0), (1,0), (0,1)[/tex] i poisitiv omløpsretning (mot klokka). Da er [tex]\oint_C F\cdot dr = ?[/tex]

[ingentingg]

Det funker med green's theorem.
Du får at du skal integrere 2x-2y over trekanten din. Siden linjen x=y deler trekanten i to like deler med motsatt fortegn blir integralet null.

[Charlatan]

Sidenote: hvis du observerer at F er et konservativt felt, så følger det fort at resultatet blir 0.

[Betelgeuse]

Er det ikke linjen y=-x sammen med y=0 og x = 0 som danner trekanten da?
Jeg ser heller ikke at feltet er konservativt for [tex]\frac{\partial P}{\partial y} = 2y \neq \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x[/tex] og da blir heller ikke virvlingen av feltet null.. Eller tar jeg helt feil nå?

[andsol]

Det er mange veier til mål!

Om du ønsker å bruke greens teorem kan for eksempel grensene bli 0 til 1 for x, og 0 til (1-x) for y. funksjonen som skal integreres blir vel 2x - 2y. Stemmer dette med tallene du brukte?

Et konservativt felt er et felt som kan skrives som gradienten til en skalarfunksjon. Det er nokså tydelig at dette ikke er tilfellet for denne funksjonen.

[Betelgeuse]

Ah nå ser jeg hvorfor. Har av en eller annen grunn glemt å ta med konstanten 1. Det er jo selvføgelig linjen y = 1-x jeg skulle brukt og ikke y=-x.

[Charlatan]

Velg [tex]\phi(x,y)=\frac{x^3}{3}+\frac{y^3}{3}[/tex], og regn ut gradienten til denne. Siden koordinatene er invertert, holder det å invertere trekantens hjørner også. I alle fall er kurven lukket, og kurveintegralet lik 0.

Kanskje litt upresist å kalle det et konservativt felt i utgangspunktet.