Basis for rommet av symmetriske matriser

[FredrikM]

La V være rommet av 2x2-matriser. Vi ønsker å finne en basis for underrommet W som består av alle symmetriske matriser.

For meg er det klart at
[tex]\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}[/tex]

utgjør en basis for W. Men hva med en basis for komplementrommet? (alle ikke-symmetriske matriser)

Fasiten foreslår
[tex]\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}[/tex], men dette holder vel ikke? Hva med f.eks [tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}[/tex]? Den er ikke-symmetrisk, men ikke inkludert i basisen.

Noen tanker? (rommet av matriser er firedimensjonalt, så jeg ikke inkludere flere elementer i en basis heller...)

[Charlatan]

Du mener [tex]\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] når du snakker om basisen for W?

Siden V åpenbart har dimensjon 4, holder det å finne en matrise som ikke ligger i W, siden den åpenbart da vil være lineært uavhengig av basisen til W. Enhver ikke-symmetrisk matrise holder. De fire matrisene vil utspenne V. Som du ser er

[tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex]

så den ligger i utspenningen av basisen.

[FredrikM]

Så hvis du skal oppgi en basis for [tex]W^\perp[/tex], hva vil den være?

Åpenbart er [tex]\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] i [tex]W^\perp[/tex], men jeg klarer ikke å skrive den som en lineærkombinasjon av elementer i en basis for [tex]W^\perp[/tex]. Eksemplet ditt inkluderer jo et element i en basis for [tex]W[/tex].

[Charlatan]

For å snakke om det ortogonale komplementet må du først definere et indreprodukt på V. Når du har det, kan du simpelthen trekke projeksjonen av en ikke-symmetrisk matrise ned på W fra denne matrisen, dvs finne den ortogonale komponenten. Denne nye matrisen vil være en basis for [tex]W^{\perp}[/tex].

[Charlatan]

Forresten, rommet av alle ikke-symmetriske matriser er ikke et vektorrom. F.eks er nullmatrisen symmetrisk.

[FredrikM]

Jeg tror jeg forstår mer nå.

Så vi kan egentlig ikke snakke om en basis for komplementet siden det ikke er et vektorrom? (basis i "normal" forstand)

[TrulsBR]

Du kan jo lese følgende wikipedia-artikkel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space#Examples.

[Charlatan]

Ja, man kan danne en isomorfi mellom vektorrommets sideklasser av W og et eventuelt ortogonalt komplement ved å danne kvotientrommet V/W.

Husk at det ortogonale komplementet ikke er V/W i mengdenotasjon, men rommet av vektorer som står normalt på W. Normalt er[tex] W \cup W^{\perp} \subset V[/tex], selv om [tex]W \oplus W^{\perp} = V[/tex].

[FredrikM]

Finnes det et (enkelt) eksempel på et vektorrom V og underrom slik at
[tex] W \cup W^{\perp} \subset V[/tex] (og [tex]W \oplus W^{\perp} = V[/tex])?

[Charlatan]

Ja, to ortogonale linjer i planet (med prikkprodukt) er vel et greit eksempel.