matematikk.net

Hallo!
Hvordan kan [tex]\: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-cosx}{x^2}[/tex]

bli lik:

[tex]\frac{1}{2}[/tex]

?

L'Hôpital's to ganger

Hvor står du fast ?

[tex]\: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-cosx}{x^2}= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{2x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{cosx}{2}=\frac{1}{2}[/tex] thx

[tex]1-\cos x =1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Så [tex]\frac{1-\cos x}{x^2}=-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n-2}}{(2n)!}[/tex]

x=0 gjør alle leddene null bortsett fra første som er lik
[tex]-\frac{(-1)^1 0^0}{2!}=\frac{1}{2}[/tex]