matematikk.net

Trenger assistanse på følgende oppgave:
f(x)= sin(pi/x) når x≠0
0 når x=0
Vis at f ikke er kontinuerlig i x=0

Skjønner at det sikkert bare er å følge definisjonen for kontinuitet, og jeg prøvde å løse den ved å falsifisere at f er kontinuerlig i x=0, men fikk ikke til.

HJELP.

Tegner du grafen til funksjonen ser du at den flimrer fortere og fortere mellom -1 og 1 jo nærmere du kommer 0. Prøv å vise at hvis [tex]\epsilon= \frac 1 2[/tex] finnes det for enhver [tex]\delta >0[/tex] en [tex]x[/tex] slik at [tex]|x-0|< \delta[/tex], men [tex]|f(x)-f(0)|>\epsilon = \frac 1 2[/tex]. Siden [tex]f(0)=0[/tex] er du ferdig om du kan vise at det finnes en [tex]x[/tex] slik at [tex]f(x)=1[/tex], for da er [tex]|f(x)-f(0)|=1>\frac 1 2 = \epsilon[/tex]. Husker du også på at [tex]\sin((\frac 1 2 + 2n)\pi) = 1[/tex] må du altså vise at i ethvert intervall [tex](-\delta, \delta)[/tex] finnes en [tex]x[/tex]slik at [tex]\frac 1 x= \frac 1 2 + 2n[/tex] for ett eller annet heltall [tex]n[/tex], og det er ikke så vanskelig.