matematikk.net

Har den inhomogene førsteordensligningen :

x(n+1)-3x(n) = 5**(-n)

Hvordan går man frem for å finne den partikulære løsningen for en negativ eksponent?

[tex]x_{n+1}-3x_n=5^{-n}[/tex]

Gjetter på partikulærløsning [tex]x_n=Ak^{Bn}[/tex]

Innsatt i ligningen får vi

[tex]Ak^{Bn+B}-3Ak^{Bn}=5^{-n}[/tex]

[tex](Ak^B-3A)k^{Bn}=5^{-n}[/tex] så vi bør ha at

[tex]k=5[/tex], [tex]B=-1[/tex] og [tex]A(5^{-1}-3)=1[/tex]

Vi får dermed at [tex]A=\frac{1}{5^{-1}-3}[/tex] og en mulig løsning blir

[tex]x_n=Ak^{Bn}=\frac{1}{5^{-1}-3}5^{-n}=-\frac{5^{-n+1}}{14}[/tex].

tusen takk:)