matematikk.net

Hei.

Har akkurat støtt på en oppgave hvor jeg skal finne divergens til et vektorfelt som er gitt i polar koordinater. Dette står ikke forklart noe sted i boken, så jeg er litt usikker på fremgangsmåte.

Oppgaven lyder:

Finn divergensen til:

F = ř = cos(Ɵ)i + sin(Ɵ)j

Her har jeg prøvd å gå fem på samme måte som når jeg løser slike oppgaver i kartesiske koordinater:

[symbol:diff] / [symbol:diff] r (cos(Ɵ)) + [symbol:diff] / [symbol:diff]Ɵ sin(Ɵ) = cos(Ɵ).

Svaret skal imidlertid være:

((sin^2(Ɵ))/r) + ((cos^2(Ɵ))/r) = 1/r

Hvordan kommer man frem til dette? Som sagt - dette står ikke forklart i boken i det hele tatt!

Setter stor pris på om noen forklarer meg fremgangsmåten i slike oppgaver.

Hvis jeg ikke tar feil blir det vel noe slikt:

[tex]\theta[/tex] er en funksjon av de kartesiske koordinatene x og y, så jeg regner med divergensen blir

[tex]\frac{\delta}{\delta x} \cos \theta +\frac{\delta}{\delta y} \sin \theta = -\sin \theta \frac{\delta}{\delta x} \theta +\cos \theta \frac{\delta}{\delta y} \theta [/tex]

[tex]\theta = \arctan{\frac{y}{x}} = -\arctan{\frac{x}{y}}[/tex] (opp til konstant), så [tex]\frac{\delta}{\delta x} \theta = -\frac{\frac{1}{y}}{1+\frac{x^2}{y^2}} = -\frac{y}{y^2+x^2}= -\frac{r\sin \theta}{r^2}[/tex] og [tex]\frac{\delta}{\delta y} \theta = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{r\cos \theta}{r^2}[/tex], og innsatt gir oss

[tex]\frac{r\sin ^2\theta}{r^2} +\frac{r\cos^2 \theta}{r^2} = \frac{1}{r}[/tex]

Takk så mye for svar!

Dette var imidlertid en litt komplisert måte å løse problemet på - selv om jeg selvsagt forstår fremgangsmåten din.

Dersom noen har en annen måte å løse oppgaven på tar jeg gjerne i mot forslag

Nå har jo Charlatan fått frem poenget; at det ikke lar seg gjøre å blindt endre hva man deriverer med hensyn på ettersom hvilke koordinater man bruker. Men jeg kan forsøke meg på en egen løsning (egentlig 2!):

Bruk at [tex]\cos{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/tex] og [tex]\sin{\theta} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/tex] (sjekk at du skjønner hvorfor!). Deretter er det bare å finne divergensen på normalt vis.

Alternativt kan du også bare bruke divergensen for polarkoordinater. Se her: http://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cyl ... oordinates (sylinderkoordinater blir det riktige å se på). Dette kan være greit hvis man skal jobbe mye med divergens i polarkoordinater, men dersom det ikke er pensum i kurset du tar er det bedre trening å heller omsette polarkoordinatene til kartesiske koordinater!

andsol skrev:Nå har jo Charlatan fått frem poenget; at det ikke lar seg gjøre å blindt endre hva man deriverer med hensyn på ettersom hvilke koordinater man bruker. Men jeg kan forsøke meg på en egen løsning (egentlig 2!):

Bruk at [tex]\cos{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/tex] og [tex]\sin{\theta} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/tex] (sjekk at du skjønner hvorfor!). Deretter er det bare å finne divergensen på normalt vis.

Alternativt kan du også bare bruke divergensen for polarkoordinater. Se her: http://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cyl ... oordinates (sylinderkoordinater blir det riktige å se på). Dette kan være greit hvis man skal jobbe mye med divergens i polarkoordinater, men dersom det ikke er pensum i kurset du tar er det bedre trening å heller omsette polarkoordinatene til kartesiske koordinater!

Tusen takk for denne informasjonen! Jeg skjønner godt hvorfor du får disse uttrykkene. Vi har jo at:

x = r*cos(θ).

Altså må cos(θ) = x/r = x/( [symbol:rot] (x^2) + (y^2))

Jeg tror jeg skal følge dette tipset heretter - altså å konvertere til kartesiske koordinater. Slike oppgaver er egentlig ikke noen stor del av pensum - omtrent samtlige divergence/curl oppgaver tar utgangspunkt i kartesiske koordinater, og, som sagt, så forklarer ikke engang boken det du og Charlatan her forklarer. Denne oppgaven var nok mer lagt til som en ekstra utfordring.

Tusen takk til dere begge to!

Generelt eksisterer det ingen "enkle" metoder for å uttrykke divergens i krumlinjekoordinater som eksempelvis polar-/sylinder -koordinater.

Her som ellers i matematikk opg fysikk er det imidlertid nyttig å undersøke for symmetrier og konserverte størrelser. I dette tilfellet er feltet konstant og radiært og det forenkler det hele dramatisk.

Divergens er et mål for den fluksen som oppstår pr volum-/flateenhet. Den formelle definisjonen kan skrives:
[tex]\mathrm{div} \vec F = \lim_{|\Delta V| \to 0} \left { \frac{1}{|\Delta V|}\oint_ {\partial (\Delta V)}\vec {F}\cdot \mathrm{d} \vec{S}\right}[/tex]

Her betyr [tex]\partial (\Delta V)[/tex] overflata (randa) på [tex] \Delta V[/tex].

Vi tar for oss den konkrete oppgaven og ser på et segment mellom dr og r +dr på en sirkelsektor d[tex]\phi[/tex]
Fluksen inn er: rd[tex]\phi[/tex] og fluxen ut er (r+dr)d[tex]\phi[/tex]
Her oppstår følgelig fluxen drd[tex]\phi[/tex]
Arealet av segmentet er rdrd[tex]\phi[/tex] og divergensen blir 1/r.

I det generelle tilfellet er det nærmest nødvendig å ta utgangspunkt i uttrykket for divergensen i polarkoordinater.

[tex] \nabla \cdot \vec F = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}rF_r + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}[/tex]

Dette gjelder for sylinderkoordinater, og uttrykket for polarkordinater finnes ved å fjerne det siste leddet.

Utledningen av dette uttrykket er relativt omstendelig og blir ofte utelatt.

Anvendt på det aktuelle problemet har vi at [tex]F_\phi = 0 \;\mathrm {og}\; F_r = 1[/tex]

Resultatet blir 1/r som forventet.

Hva som er fornuftig å velge av koordinatsystemer avhenger helt av symmetrien i problemet. I dette tilfellet var polarkoordinater det fornuftige valget og svaret gav seg nærmest av seg selv.

Takk så mye for detaljert forklaring, Claudius! Jeg må la dette synke litt - har tross alt akkurat begynt å lære dette stoffet .