Side 1 av 1
Naturlig tall
Lagt inn: 04/11-2010 15:37
av Integralen
Oppgave 17.
La n være et naturlig tall og anta at f og g er n ganger deriverbare.Vis at:
[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]
der [tex]\: D^{(n)}h \:[/tex] betegner den n-te deriverte til funksjonen h.
[tex]h(x)=e^xsinx[/tex]
Kan noen vise det nøyaktig hvordan hele visningen blir?
Lagt inn: 04/11-2010 17:17
av Gustav
Du kan bruke induksjon for å vise dette.
Formelen gjelder via produktregelen for n=1.
Anta at formelen stemmer for n.
Da følger at
[tex]D^{n+1}(fg)=D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)[/tex]
Siden derivasjonsoperatoren D er lineær er dette:
[tex]D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))[/tex]
Vi bruker igjen produktregelen og får
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left ((D^{n-k+1}f)(D^k g)+(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)\right )[/tex]
Bruker vi at
[tex]\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}={n+1\choose k+1}[/tex]
blir
[tex]{n\choose k}={n+1\choose k+1}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}\frac{n+1-k}{n+1}={n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}[/tex]
Ser vi på det siste leddet i summen et par hakk over kan vi omskrive:
La k+1=m. Da går summen over m fra m=1 til n+1
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)=\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m-1}\frac{n+1-m+1}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
Vi har at
[tex]{n+1\choose m-1}=\frac{m}{n-m+2}{n+1\choose m}[/tex] så vi skriver summen over som
[tex]\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
,hvor vi i den siste likheten bare har addert et ledd som er lik 0.
Til slutt har vi at
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
,hvor vi igjen kun har addert et ledd som er 0.
Tilslutt adderer vi og får
[tex]D^{n+1}(fg)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\\ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^{k} g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(\frac{n+1-k}{n+1}+\frac{k}{n+1})(D^{n-k+1}f)(D^k g)\\=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
Nå har jeg på følelsen at denne utregninga kunne vært gjort enklere...
Fjerdederivert ved bruk av formelen binomial.
Lagt inn: 08/11-2010 14:10
av Integralen
Videre går spørsmålet ut på å finne den fjerdederiverte til funksjonen h ved bruk av formelen, hvordan blir innsettingen nå?
Lagt inn: 08/11-2010 17:29
av FredrikM
Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.
Lagt inn: 08/11-2010 18:45
av Integralen
FredrikM skrev:Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.
Det jeg egentlig mente som oppgaven sier altså å finne den fjerdederiverte ved å bruke følgende formel:
[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]
Hvis jeg nå setter inn 4 istedenfor n så får jeg:
[tex]D^{4}[e^{x}sin{x}]=\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} D^{(4-k)}e^{x}D^{(k)}sin{x}[/tex]
og dermed skal man ha funnet den fjerdederiverte?
Lagt inn: 08/11-2010 22:39
av FredrikM
Om du skriver ut summen der, er det enda bedre.
(f.eks er [tex]De^x= e^x[/tex] osv)
Lagt inn: 08/11-2010 23:18
av Nebuchadnezzar
forstår selv ikke helt hva de mener med [tex]D[/tex] og [tex]D^{4-k}[/tex]
Noen som kan forklare dette med teskje ?
Lagt inn: 09/11-2010 00:13
av Karl_Erik
D er nok notasjon for deriveringsoperatoren. [tex]D^{(4-k)}[/tex] betyr da operatoren som deriverer 4-k ganger.
Lagt inn: 09/11-2010 02:08
av Charlatan
Utledningen av formelen kan forsåvidt gjøres ganske mye enklere ved å bruke at [tex]D^{n+1}(fg)=D^{n}(f^{\prime}g)+D^{n}(fg^{\prime})[/tex] samt [tex]{n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}[/tex].
Lagt inn: 10/11-2010 16:03
av claudius
Den fjerde deriverte blir:
[tex] f(x) = e^x,\; g(x) = sin x \\ e^x sin x + 4 e^x cos x - 6 e^x sin x - 4 e^x cos x + e^x sin x = -4 e^x sin x[/tex]
Lagt inn: 10/11-2010 17:09
av Integralen
Ja, det stemmer.