matematikk.net

Skal vise ved induksjon at formelen for den n'te deriverte til funksjonen f(x) = x*e^ax er

f^(n) (x) = a^(n-1) * e^ax (ax+n)

Har derivert funksjonen.. Med sliter med steg 2 av induksjonsbeviset der jeg skal vise at formelen er gyldig for n= k+1. Har altså kommet til

f^(k+1) (x) = d/dx (f^(k) (x)) = d/dx (a^(k-1) * e^ax (ax+k))

Noen som kan hjelpe meg med derivasjonen og beviset??

[tex]\frac{df}{dx}(x)=1\cdot{e^{ax}}+x\cdot{ae^{ax}}=a^{0}\cdot{e^{ax}(ax+1)}[/tex]

dvs. ok for den førstederiverte (men dette hadde du vel klart..). Anta at påstanden stemmer for n=k.

Da har vi for n=k+1:

[tex]f^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}(f^{(k)}(x)))=\frac{d}{dx}(a^{k-1}e^{ax}(ax+k))=a^{k-1}\frac{d}{dx}(e^{ax}(ax+k))[/tex]

dvs.

[tex]f^{(k+1)}(x)=a^{k-1}[ae^{ax}(ax+k)+e^{ax}\cdot{a}]=a^{k}e^{ax}(1+(ax+k))[/tex]

dvs.

[tex]f^{(k+1)}(x)=a^{(k+1)-1}e^{ax}(ax+(k+1))[/tex]