matematikk.net

Sitter med en oppgave som vi ikke helt ser hvorfor vi kommer ut med de grensene vi gjør...



Har:
[tex]x=\rho sin(\phi) cos(\theta)[/tex]
[tex]y=\rho sin(\phi) sin(\theta)[/tex]
[tex]z=\rho cos(\phi)[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2=\phi^2[/tex]
[tex]dV=\rho^2sin(\phi)d\rho d\theta d\phi[/tex]

[tex]x=\rho[/tex]
[tex]y=\phi[/tex]
[tex]z=\theta[/tex]

Prøvd:
[tex]\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq \sqrt{18-x^2-y^2}[/tex]

[tex]\sqrt{x^2 + y^2} = z[/tex]
Som fører til [tex]\phi = \frac{\pi}{4}[/tex], gjennomgang fra timen...

Allerede her stopper logikken opp. Vi hadde i utgangpunktet z, som er [tex]\theta[/tex], men fra timen så får han ut [tex]\phi[/tex] og det er jo y'n?

[tex]z = \sqrt{18 - x^2 - y^2}[/tex]
Som fører til [tex]\phi = \sqrt{18}[/tex], regnet ut selv...


Noen gode tips?

Hint:

(x^2) + (y^2) + (z^2) = p^2

Altså ikke [symbol:tom] ^2

Også: Siden y er definert mellom 0 og 3, og x kun kan være gitt ved positivt tall, må området kun ligge i 1. oktant.

Men da får jeg [tex]\rho = \sqrt{18}[/tex] da, men [tex]\rho[/tex] er jo x'n?

Det er viktig å huske på at når man skifter fra kartesiske til sylinder- eller kulekoordinater, så er det ikke slik at x står for θ , z står for p, osv. Det som kan være lurt er å visualisere hvordan figuren vil se ut, basert på informasjonen du er gitt. Deretter finner du verdiene, hvor altså:

θ er vinkelen, målt i radianer rundt z-aksen hvor kulen er definert (ettersom kulen er sentrert i origo).

Φ er vinkelen som går ut fra z-aksen gjennom yz-planet.

p er kulens radius.

Basert på informasjonen hittil vet vi altså at ettersom kulen kun er definert i første oktant så må

0 < θ < [symbol:pi] /2

Videre har vi, som du selv påpeker at,

0 < Φ < [symbol:pi] /4

Og til slutt har vi:

0 < p < [symbol:rot] 18

Tar du resten da?