matematikk.net

Oppgave 10.
Anta at a er et reelt tall, [tex]\: 0 \leq a \leq 1 \:[/tex]. Vis at:

[tex](1+x)^a \leq 1+ax[/tex]

for

[tex]x>-1 [/tex].

Er det noen som har brukt middelverdisetningen og vist det? Isåfall kan noen forklare hvordan man skal vise det?

Hvis du lar [tex]f(x) = (1+x)^a[/tex], så sier middelverdisetningen at det finnes et reellt tall c mellom 0 og x slik at [tex]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(c)[/tex]. Bruk dette til å vise ulikheten.

Dette gjelder kun for [tex]x>-1[/tex], for hvis [tex]x < -1[/tex], så er ikke f deriverbar på intervallet [tex](x,0)[/tex] (fordi den ikke er definert), noe middelverdisetningen krever (og hvis x = -1 er ikke venstresiden definert). Det er altså essensielt at x>-1, for du krever at f må være deriverbar på (x,0) eller (0,x).