matematikk.net

Hei.. sliter litt med en øvingsoppgave her

Gitt potensrekken:
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} x^n [/tex]

a) Vis at rekken konvergerer for alle x
Løsn: dette viste jeg ved forholdstest og at som en geometrisk rekke gikk forholdet mellom a(n+1) og a(n) mot 0.

b) Finn et endelig uttrykk for summen av rekken
Her sliter jeg. Jeg ser at det likner fælt på rekken for e^x, men det må multipliseres med noe.

I fasit står det [tex](x^2 + x)e^x[/tex], og jeg ser at dette fungerer, men hvordan kommer man frem til noe sånnt?

Takk

Her er det noe rart. Du kan ikke dele med 0

Du må presentere den rette rekka! Denne konvergerer definitivt ikke for alle x!

glemte et utropstegn, beklager.

Fant en løsning

Drøyt å bumpe en 8 år gammel tråd kanskje, men sitter med oppgave b) her nå. Hvordan skal man løse dette? Vet, som trådstarter sier, at uttrykket ligner på Maclaurinrekken for e^x, dog med noen modifikasjoner. Noen som kan hjelpe?

Kwerty skrev:Drøyt å bumpe en 8 år gammel tråd kanskje, men sitter med oppgave b) her nå. Hvordan skal man løse dette? Vet, som trådstarter sier, at uttrykket ligner på Maclaurinrekken for e^x, dog med noen modifikasjoner. Noen som kan hjelpe?

Som du nevner selv er rekken ganske lik Maclaurinrekken til $e^x$. Vi kan skrive om denne litt $$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$$ Ganger vi med $x$ på begge sider fås $$xe^x = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!}$$ Deriver nå begge sider en gang: $$\frac{\text{d}}{\text{d}x} xe^x = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!}$$ Dette gir $$e^x + xe^x = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!}x^{n-1}$$ Multipliser nå med $x$ på begge sider, så sees endelig at $$xe^x+x^2e^x = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!}x^n$$

Uttrykket kan også skrives om direkte, uten leddvis derivasjon:
$$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n-1)!}x^n & = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1 + 1}{(n-1)!}x^n \\
& = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\
& = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}x^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}x^n \\
& = x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n + x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n \\
& = (x^2 + x)e^x.\end{align*}$$

Takk for svar, begge to

Men, hvordan blir

[tex]\sum_{n = 1}^{inf}\frac{(n-1)x^{n}}{(n-1)!} = \sum_{n = 2}^{inf} \frac{x^{n}}{(n-2)!}[/tex] ?

$$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{(n-1)!}x^n & = \frac{1-1}{(1-1)!}x^1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{(n-1)!}x^n \\
& = \frac01x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{(n-1)\times(n-2)\times\cdots \times 2\times 1}x^n \\
& = 0 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)\times\cdots \times 2\times 1}x^n \\
& = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}x^n.\end{align*}$$