Praktisk Diff. ligning

[Atreides]

I en by med N0 antall innbyggere holder et rykte på å spre seg. Vi lar N være talet på personer som har hørt ryktet, dvs. N=N(t) der tiden t er målt i dager.

Vi antar at ryktet sprer seg på en slik måte at tallet på nye personer pr. tidsenhet som hører ryktet, er proporsjonalt(k) med tallet på personer som ikke har hørt ryktet.

a) Still opp diff.ligning som gir sammenheng mellom N og t

N'=k(N0-N)

Er dette riktig?



Videre antar vi at når ryktet starter ved tida t=0, så er N(0)=0 (selv om at det må nødvendigvis ha vert en person som har startet det hele). Ved tida t=7, altså 7 dager, så har 10% av innbyggerene i byen hørt ryktet.

b) Finn uttrykk for N(t)

dN/dt = k(N0-N)

Integrerer opp etc. og vi får N0-N=e^(kt+c)

Er jeg på rett spor?

[Karl_Erik]

Du har satt opp helt riktig likning på a). Jeg lurer dog på om du heller vil ha [tex]N_0-N=e^{-kt - c}[/tex] - med andre ord negativt fortegn foran, for [tex]\int \frac 1 {N_0-N} dN = - \ln(N_0-N)[/tex].

[Atreides]

Vil jeg heller da skrive N'=k(N0-N) som N'=-k(N-N0) ?

Som da gir:

ln |N-N0| = -Kt+C

N-N0 = +/- e^(-Kt+C)

N=N0+Ce^(-Kt)

Ser det mer riktig ut?

[Atreides]

Kommer meg ikke videre fra denne oppgaven.

c) Regn ut hvor lang tid det tar før halvparten av innbyggerene har hørt ryktet.

N(0) = 0

N0+ce^(-k*0) = 0
C = -N0

N(7) = (1/10)N0

?