matematikk.net

[tex]lim_ {x \rightarrow \infty} \: \: \frac{tan{\frac{1}{x^2}}}{1- cos {\frac{1}{x}}}[/tex]

Hva skal man gange oppe og nede så man slipper å få stygge uttrykk?

På forhånd takk.

Det greieste er å bytte variabel og grenser u =1/x, [symbol:uendelig] ->0.

Prøver din greie:

[tex]lim_ {u \rightarrow 0} \: \: \frac{tan (u^2)}{{1- cos (u)}[/tex]

Når man så bruker l hop så blir det bare verre å verre.

Få se hvordan du kommer frem til svaret, takk.

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{\tan(u^2)}{1-\cos u}=\lim \frac{2u+2u\tan^2 u^2}{\sin u}=2\lim \frac{u}{\sin u}+2\lim \frac{u}{\sin u}\lim \frac{\tan^2 u^2}{\sin u}[/tex]
[tex]=2+2\lim\frac{2(\tan u^2)(2u+2u\tan u^2)}{\cos u}=2[/tex]

Hvor vi gjentatte ganger har brukt at
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}=1[/tex]

[tex] = {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\tan \left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{1 - \cos \left( {\frac{1}{x}} \right)}}{\rm{ setter u = }}\frac{1}{x} [/tex]

[tex] = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2u + 2u \cdot \tan {{\left( {{u^2}} \right)}^2}}}{{\sin \left( u \right)}}{\rm{ }}[/tex]

[tex] = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 + 2\tan {{\left( {{u^2}} \right)}^2} + 8{u^2}\tan \left( {{u^2}} \right)\left( {1 + \tan {{\left( {{u^2}} \right)}^2}} \right)}}{{\cos \left( u \right)}}{\rm{ }}[/tex]

[tex] = 2 [/tex]