matematikk.net

Oppgave 6.3.20

Grenseverdien

[tex]\lim_{x\to 0}\: (\frac{1}{sin(px)}-\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}-1})[/tex]

eksisterer for en verdi av p. Finn p.

Prøvde:

Har prøvd å sette inn pi, pi/2, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 for p, men fortsatt fant man ikke den verdien av p slik at grenseverdien eksisterer.Kan noen av dere se hvilken verdi det skal være for p?

På forhånd takk!

Jeg aner at vi skal ha p = 1/2, men det må nå bevises. Skal se om jeg får sett på saken etter hvert.

Antar at x->0.

Hint:

1) Skriv uttrykket på felles brøkstrek og bruk L'Hôpital.
2) For at resultatet skal konvergere, må du sette p lik et eller annet tall.
3) Finn dette tallet.

Å takk Gud som har utviklet matematikk.

claudius skrev:Jeg aner at vi skal ha p = 1/2.......

Det er riktig!

Vi benytter L'Hopital:
[tex]\frac{e^{\frac{x}{2}}-1-sin px}{(1-e^{\frac{x}{2}}-1)sin px} \rightarrow \frac{\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{2}-k\,cos \,px}{\frac{{e}^{\frac{x}{2}}\,sin\, p x }{2}+p\,\left( {e}^{\frac{x}{2}}-1\right) \,cos \,p x }[/tex]

Vi ser at uttrykket divergerer når p [symbol:ikke_lik] 1/2.

Benytter L'Hopital med p = 1/2

[tex]\frac{\frac{sin{\frac{x}{2}}} {4}+\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{4}}{\frac{{e}^{\frac{x}{2}}\,sin( \frac{x}{2}) }{4}-\frac{\left( {e}^{\frac{x}{2}}-1\right) \,sin{ \frac{x}{2}} }{4}+\frac{{e}^{\frac{x}{2}}\,cos{ \frac{x}{2}}}{2}} \rightarrow \frac{1}{2}[/tex]

Kvalifisert gjetning ?

Jeg ser du har løst problemet men sender dette i alle fall.