Sitti lenge med intergralet. Omskrev det til (1-cos^2(x)))^3
så sitter jeg igjen med1/8 Intergral (1-3cos2x+3cos^2(2x)-cos^3(2x)
Sliter litt med de to siste delene, noen som kan hjelpe, eller kanskje har en lettere måte å gjøre det på? Det ligger under substitusjon kapittelet, så kanskje det er en lettere måte...
Intergral, sin^6(x)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du kan bruke følgende formel et par ganger:
[tex] \int \! sin^k(x) dx = -\frac{cos(x) sin^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! sin^{k-2}(x)dx[/tex]
Eventuellt kan du løse det du sitter med:
For [tex]cos^3(2x)[/tex] kan man for eksempel sette [tex]u=2x[/tex], [tex]du=2dx[/tex], som gir
[tex]\frac{1}{2}\int \! cos^3(u) du[/tex]
Bruker så at [tex] \int \! cos^k(x) dx = \frac{sin(x) cos^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! cos^{k-2}(x)dx[/tex], setter [tex]k=3.[/tex]
[tex] = \frac{1}{6} sin(u) cos^2(u) + \frac{1}{3}\int \! cos (u) du[/tex]
[tex] = \frac{1}{3}sin(u) + \frac{1}{6}sin(u) cos^2(u) + C[/tex]
[tex] = \frac{1}{3}sin(2x) + \frac{1}{6}sin(2x) cos^2(2x) + C[/tex]
[tex] \int \! sin^k(x) dx = -\frac{cos(x) sin^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! sin^{k-2}(x)dx[/tex]
Eventuellt kan du løse det du sitter med:
For [tex]cos^3(2x)[/tex] kan man for eksempel sette [tex]u=2x[/tex], [tex]du=2dx[/tex], som gir
[tex]\frac{1}{2}\int \! cos^3(u) du[/tex]
Bruker så at [tex] \int \! cos^k(x) dx = \frac{sin(x) cos^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! cos^{k-2}(x)dx[/tex], setter [tex]k=3.[/tex]
[tex] = \frac{1}{6} sin(u) cos^2(u) + \frac{1}{3}\int \! cos (u) du[/tex]
[tex] = \frac{1}{3}sin(u) + \frac{1}{6}sin(u) cos^2(u) + C[/tex]
[tex] = \frac{1}{3}sin(2x) + \frac{1}{6}sin(2x) cos^2(2x) + C[/tex]
Hm.
[tex] \int \! sin^k(x) dx = -\frac{cos(x) sin^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! sin^{k-2}(x)dx[/tex], med k = 6 gir
[tex]- \frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) + \frac{5}{6} \int \!sin^4(x) dx[/tex], bruker nevnte formel igjen, for k = 4:
[tex] = -\frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) - \frac{5}{24}sin^3(x)cos(x) + \frac{5}{8}\int \!sin^2(x) dx[/tex]
Kan skrive om [tex]sin^2(x)[/tex] til [tex]\frac{1-cos(2x)}{2}[/tex]:
[tex] = -\frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) - \frac{5}{24}sin^3(x)cos(x) + \frac{5}{8} \int \! \frac{1}{2} dx - \frac{5}{16} \int \! cos(2x) dx[/tex]
[tex] = - \frac{1}{6}sin^5(x) cos(x) - \frac{5}{24} sin^3(x) cos(x) + \frac{5x}{16} - \frac{5}{32}sin(2x) [/tex]
[tex] \int \! sin^k(x) dx = -\frac{cos(x) sin^{k-1}(x)}{k} + \frac{k-1}{k} \int \! sin^{k-2}(x)dx[/tex], med k = 6 gir
[tex]- \frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) + \frac{5}{6} \int \!sin^4(x) dx[/tex], bruker nevnte formel igjen, for k = 4:
[tex] = -\frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) - \frac{5}{24}sin^3(x)cos(x) + \frac{5}{8}\int \!sin^2(x) dx[/tex]
Kan skrive om [tex]sin^2(x)[/tex] til [tex]\frac{1-cos(2x)}{2}[/tex]:
[tex] = -\frac{1}{6}sin^5(x)cos(x) - \frac{5}{24}sin^3(x)cos(x) + \frac{5}{8} \int \! \frac{1}{2} dx - \frac{5}{16} \int \! cos(2x) dx[/tex]
[tex] = - \frac{1}{6}sin^5(x) cos(x) - \frac{5}{24} sin^3(x) cos(x) + \frac{5x}{16} - \frac{5}{32}sin(2x) [/tex]