matematikk.net

Heisann!

Har en oppgave fra eksamen i MAT2300 - Analyse 2 fra UiO fra 2008, som jeg gjerne skulle hatt litt starthjelp med. Dette er en oppgave som tilsynelatende dukker opp nokså ofte i en eller annen form eller fasong på mange eksamensett, så ser for meg at det er viktig å kunne.

Oppgaven lyder slik:

Finn ut hvor mange løsninger ligningen [tex]2z^5 - 6z^3 + z^2 + 2 = 0[/tex] har i annulusen [tex]1 < |z| < 2[/tex] (talt med multiplisitet).

Vet ikke helt hvordan jeg skal angripe dette, så med "litt starthjelp" mener jeg vel egentlig "mye starthjelp".

Rouches theorem

Finn først hvor mange løsninger det er innenfor en (åpen)disk med radius [tex]2[/tex]:

La [tex]\gamma[/tex] være konturen gitt ved [tex]|z|=2[/tex], og la [tex](f+g)(z)=2z^5-6z^3+z^2+2[/tex] der [tex]f(z)=2z^5[/tex] og [tex]g(z)=-6z^3+z^2+2[/tex]. På [tex] \gamma[/tex] er [tex]|g(z)|<6*2^3+2^2+2=54<64=|f(z)|[/tex]. Da har [tex]f[/tex] og [tex]f+g[/tex] likt antall røtter innenfor [tex]\gamma[/tex]. Røttene til [tex]f[/tex] innenfor en disk med radius [tex]2[/tex] er det lett å finne.

Gjør noe analogt for (den åpne)disken med radius [tex]1[/tex] for å finne antallet røtter som befinner seg inni denne.

Husk å ta hensyn til multiplisiteten til røttene.

Til slutt kan du vise at [tex]2z^5-6z^3+z^2+2=0[/tex] ikke har noen løsninger som ligger på sirkelen |z|=1 ved å bruke den omvendte triangelulikheten.

Ah, takk! Det var nok Rouches teorem som hadde gått meg hus forbi.

Mesteparten av resonnementet er jo dermed greit, men jeg har enda litt problemer med tilfellet [tex]|z| = 1[/tex]. Tanken min er at med [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex] slik du har definert, får vi at

[tex]|f+g| = |f - (-g)| \ge |\ |f| - |-g|\ | = |\ |2z^5| - |6z^3 - z^2 - 2|[/tex]
[tex]= |\ |2| - |6z^3 - z^2 + 2|\ |[/tex]. Det siste har jeg fått til å vise at er ulik (og dermed større enn) 0 ved å skrive kravet som [tex]6z^3 - z^2 + 2 = \pm 2[/tex], og vise at ingen av disse er mulig gitt [tex]|z| = 1[/tex]. Dermed er [tex]|f + g| > 0[/tex], og følgelig er [tex]f + g[/tex] ulik null. Men det virker som det er en kronglete vei til mål. Så du (eller andre) noen lettere rute å følge?

Jeg gjorde det slik:

[tex]|(2z^5+z^2+2)-(6z^3)|\geq ||6z^3|-|2z^5+z^2+2|| [/tex] ved omvendt trekantulikhet.

Der [tex]|z|=1[/tex] er [tex]|(2z^5+z^2+2)-(6z^3)|\geq |6-|2z^5+z^2+2||[/tex].

[tex]0\leq |2z^5+z^2+2| \leq 2+1+2=5[/tex].

Derfor er [tex]1\leq 6-|2z^5+z^2+2|\leq 6[/tex] og følgelig [tex]|(2z^5+z^2+2)-(6z^3)|\geq 1>0[/tex].