matematikk.net

Hvor er funksjonen [tex]\:e^{\sqrt{|x|}}-3[/tex]

konveks og konkav når [tex]\: -2 \leq x \leq 2 \:[/tex]
?

Prøvde:

Fant ut at den er konveks i [tex]\: <0, 2][/tex]

altså finner jeg ikke at den er konkav i det hele tatt.

Kan noen bekrefte om dette er riktig?isåfall vise hva som er riktig?

Hint: En funksjon som inneholder absoluttverdien av x er speilvendt om y-aksen. Endrer da "konveksheten" seg?

Nei, konveksheten skulle ikke endre seg da.

Betyr det at f er konveks i intervall:
[tex]-2 \leq x < 0[/tex]
[tex]0<x \leq 2[/tex]

At den ikke er definert for 0 og heller ikke er konkav i dette intervallet som nevnt i oppgaven?

Kan du bekrefte at dette er riktig?

Se først på intervallet [0,2]. Da er |x|=x. Funksjonen er konveks der den andrederiverte er ikke-negativ. Finn derfor den andrederiverte og sjekk på hvilke delintervaller i [0,2] den er negativ og ikke-negativ.

Som det ble sagt over er funksjonen symmetrisk, så den er konveks på de tilsvarende intervallene på negativ side av x-aksen. ( med det menes at dersom f(x) er konveks på (a,b), a,b>0, er den også, pga. symmetri, konveks på (-b,-a)).

Hint: funksjonen er ikke konveks på hele [-2,2]...

Og finner ved å se på grafen under til den andrederiverte at den er:

Konveks:
[tex][0,48..,2][/tex]


Konkav:
[tex][-2,0>[/tex]
[tex]<0,0,48][/tex]



Er det slik for en graf at hvis f har symmetriegenskaper så har også f`, f``, f```, osv det?Isåfall denne grafen som er i bildet er for den andre deriverte til funksjonen jeg har nevnt i oppgaven.Kan noen illustrere en del punkter [a,b] slik at [-b,-a] (for å se at den faktisk er symmetrisk)?

Vet ikke om jeg helt skjønner hva du mener. Man trenger ikke skissere grafen for å finne om funksjonen er konveks eller konkav. Det holder å derivere og drøfte for hvilke x den andrederiverte er positiv...

Integralen skrev:Er det slik for en graf at hvis f har symmetriegenskaper så har også f`, f``, f```, osv det?

Ja, hvis f(x)=f(-x) for alle x er også f'(x)=f'(-x) det, og tilsvarende for høyere ordens deriverte.

EDIT: Om en vil spikke flis - forutsatt selvfølgelig at disse deriverte eksisterer.

Konvekse og konkave funksjoner vil alltid ha høyre,- og venstre-deriverte, men disse er ikke nødvendigvis alltid like. Den venstrederiverte vil være stigende for en konveks funksjon, og motsatt vil den høyre-deriverte være synkende for en konkav funksjon. Dessuten vil mengden av punkter i et åpent intervall hvor funksjonen ikke er deriverbar alltid være tellbar for en konveks eller konkav funksjon.

Betrakt f.eks den konvekse funksjonene på (-1,1):

f(x) = |x|
Denne er ikke deriverbar i 0 (som utgjør en tellbar mengde), men har både høyre,- og venstre-deriverte. Den venstrederiverte er f'(x) = -1 for x<= 0, og 1 for x>0, altså en stigende funksjon.

Med andre ord kan du trygt betrakte de venstre-deriverte og sjekke monotonisitet for å avgjøre konveksitet, og motsatt den høyre-deriverte for å avgjøre konkavitet. Dersom disse ikke eksisterer eller ikke er monotone har du altså ikke med en konveks/konkav funksjon å gjøre (på det åpne intervallet av interesse).

Se på denne grafen:




Dette er en graf for den andrederiverte av funksjonen f.Hvis man tegner grafen til f eller f` så ser man lett symmetriegenskaper.MEN DET GJØR MAN IKKE NÅR MAN TEGNER grafen til f`` som over her.Vet at det holder med å andrederivere funksjonen og sette inn negative og positive for x for å se hvor den er konveks og konkav, men i dette tilfellet er den andrederiverte to litt kompliserte uttrykk som gjør at jeg heller velger å lime inn grafen istede.
Spørsmål 1: Og av denne ER DET IKKE LETT Å SE SYMMETRIEGENSKAPER, ser dere det??????

Konveks:
[tex][0,48..,2][/tex]


Konkav:
[tex][-2,0>[/tex]
[tex]<0,0,48][/tex]

Siden den andrederiverte også skulle vært symmetrisk siden funksjonen f er det finner jeg likevel ikke intervaller som er symmetrisk.
Spørsmål 2:SE OVER, fant bare en konveks intervall og 2 konkave og DEM SER VEL IKKE SYMMETRISKE UT, gjør dem?????????

Spørsmål 3: Burde man ikke få symmetriske intervaller for konveks og konkav ettersom f er symmetrisk????

Kan noen eventuelt finne de riktige intervallene der funksjonen er konveks og konkav og bli ferdig med denne oppgaven?

Beklager, skrev litt vel kjapt i går - skrev at om f(x)=f(-x) for alle x er f'(x)=f'(x). Dette er selvfølgelig ikke sant - det som er sant er at f'(x)=-f'(-x). Tilsvarende er f''(x)=f''(-x), f'''(x)=-f'''(x) osv.

Når det gjelder grafen du har tegnet ser det ut som du bruker den komplekse eksponentialfunksjonen (legg merke til at du får en imaginærdel nær null), og ikke den reelle. Grafen til den andrederiverte til x kan du se her, og nå er kanskje symmetriegenskapene lettere å se?[/url]

Jeg skrev [tex]\: |x|=\sqrt{x^2} \:[/tex] når jeg skulle derivere og da fikk jeg :

Konveks:
[tex][1,-2][/tex]
[tex][-2,-1][/tex]

Konkav:
<0,1]
[-1,0>

Korekt meg gjerne når det gjelder dette.Legg merke til at jeg har nevnt at -1 ligger både i konveks og konkavdelen, hva er riktig og hvorfor?

Antar du mener konveks på [1,2] og [-2,-1], og konkav på [-1,1].

Dette ser for meg riktig ut. At intervallene overlapper i grensene er forsåvidt ikke noe problem. En funksjon kan godt være både konkav og konveks i et punkt. F.eks. er f(x)=x, f:R->R både konveks og konkav på hele R.

Det er vel generelt slik at dersom en kontinuerlig funksjon er konveks på et åpent intervall (a,b), er den også konveks på tillukningen [a,b]... Merk at dette ikke nødvendigvis gjelder dersom funksjonen har en diskontinuitet i grensene a og b.

Dette blir ganske smått off-topic, men jeg tror jeg skal hoppe i det likevel: Sånn generelt tror jeg det er vanlig å snakke om konveksitet på et intervall, og ikke i et punkt. Du kan selvfølgelig si at et punkt er et lukket intervall der endepunktene er like, men om en skal operere med den vanlige definisjonen på konveksitet (linjestykket mellom to punkter på grafen i intervallet ligger over grafen) medfører jo dette at alle funksjoner er konvekse (og konkave) i alle enkeltpunkter. En kunne kanskje ha gått veien om å definere konveksitet utifra den annenderiverte, men da får en jo problemer med å snakke om funksjoner som ikke er to ganger deriverbare. Derfor: er det noen annen fornuftig måte å definere konveksitet i et intervall der endepunktene er like på?

Dersom man ønsker å definere konveksitet gjennom den annenderiverte vil det være mer fornuftig å snakke om konveksitet på åpne mengder, da man trenger informasjon om funksjonen utenfor mengden av interesse for å beregne den deriverte (og dobbeltderiverte) i grensepunktene til mengden.

Jeg ville strengt tatt ha påstått at enhver funksjon er trivielt konveks i et punkt, da det følger av definisjonen av den tradisjonelle definisjonen av konveksitet. Det vil si at f er konveks på U dersom for ethvert par a,b i U så er [tex]f(at+(1-t)b) \leq f(a)t+(1-t)f(b)[/tex] for enhver t i [0,1].

En funksjon er vel konveks på I når epigrafen på I er en konveks mengde. Utfra denne definisjonen blir epigrafen til en konveks funksjon i ett punkt et intervall, som jo er en konveks mengde. For øvrig er jeg helt enig i det forrige innlegget om at funksjoner er trivielt konvekse i ethvert punkt i domenen.