matematikk.net

Oppgave 16:
Anta at [tex]\: f : [0,\infty> \rightarrow R \:[/tex] er en kontinuerlig funksjon slik at [tex]\: f^\prime(x) \:[/tex] vokser og [tex]\: f(0)=0 \:[/tex].

Definer:
[tex]F(x)=\int_0^{x} \frac{f(t)}{t} dt \:[/tex] for [tex]\: x>0[/tex].

Uttrykk [tex]\: F^\prime^\prime(x) \:[/tex] ved hjelp av [tex]\: f(x) \:[/tex]og [tex]\: f^\prime(x) \:[/tex], og vis at F er en konveks funksjon.

3 spørsmål:
a)Hvordan skal man definere F(x) ?
b)Hvordan skal man uttrykke [tex]\: F^\prime^\prime(x) \:[/tex] ved hjelp av f og den første deriverte til f?
c) Hvordan finne eller hva er f(x) og hvordan vise at F er konveks?


Håper disse 3 spørsmålene kan besvres godt.
Takk for hjelp!

1. [tex]F(x)[/tex] er jo allerede definert.

2. Bruk først fundamentalteoremet i kalkulus til å finne den deriverte [tex]F^,(x) [/tex]. (Du kan nærmest lese direkte ut av integralet hva den deriverte av F må være)

3. [tex]f(x)[/tex] skal du ikke (og kan du ikke finne), du skal bare anta at den er kjent.

Du kan vise at F(x) er konveks ved å vise at [tex]F^{,,}(x)[/tex] er ikke-negativ for alle x i definisjonsmengden.

1. Jeg antar at man skal løse integralet for å finne F(x) og dermed F`(x).Men hvordan skal man løse den?Kan du vise?

Integralen skrev:1. Jeg antar at man skal løse integralet for å finne F(x) og dermed F`(x).Men hvordan skal man løse den?Kan du vise?

Bruker du fundamentalteoremet får du at

[tex]F^,(x)=\frac{d}{dx}\left ( \int_0^x \frac{f(t)}{t}\,dt\right )= \frac{f(x)}{x}[/tex]

Altså trenger du ikke integrere i det hele tatt for å finne [tex]F^,(x)[/tex]!

Deretter må du finne et uttrykk for [tex]F^{,,}(x)[/tex]. Bruk derivasjonsregler..

Til slutt må du drøfte fortegnet til den andrederiverte for å kunne konkludere at F er konveks for x>0.

Dermed får jeg at:

[tex]F^\prime^\prime(x)=-\frac{f(x)}{x^2}+ \frac{f^\prime(x)}{x}[/tex]

Og vi ser av fortegnet til den førstederiverte at den er positiv og dette leddet er større enn det første og følgelig for enhver x>0 får vi et positivt svar for F andrederivert.Dermed er F en konveks funksjon.

Hva syntes dere?

Uttrykket for den andrederiverte ser ihvertfall rett ut..