matematikk.net

Finn grenseverdien til:
[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} {(3x^2-x^3)^{\frac{1}{3}}+x[/tex]

Hvordan kan man gjøre denne om til en 0/0 uttrykk eller uendelig/uendelig uttrykk først?

sånn kanskje, fort og gæli. du må sette inn grenser:

[tex]=\left(x^2(3-x)\right)^{1/3}+x[/tex]

[tex]=x^{2/3}(3-x)^{1/3}+x[/tex]

[tex]=x\left(\frac{3-x}{x}\right)^{1/3}+x=x\left((\frac{3-x}{x})^{1/3}+1\right)[/tex]

[tex]=\frac{(\frac{3-x}{x})^{1/3}+1}{{1\over x}}[/tex]

Hva blir grenseverdien lik?

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} {(3x^2-x^3)^{\frac{1}{3}}+x=1[/tex]

Jeg satte en stor verdi inn for x som var lik 999999 siden x går mot uendelig i denne grenseverdien og fikk til svar lik 1 som stemmer.

Men det uendelig/uendelig utttrykket du skrev over tenkte jeg å derivere ved bruk av lhop regel, men da jeg prøvde dette endte jeg opp med bare kompliserte uttrykk.

Kan du vise hvordan lhop deriveringen blir så du får svar lik 1?

Bruke kjerneregelen og få

Derivert av teller:
[tex]-\frac{1}{3}(\frac{3}{x}-1)^{\frac 13} \frac{3}{x^2}[/tex]

Deriverte av nevner:
[tex]-\frac{1}{x^2}[/tex]

Hele nevneren blir drept av kansellering og vi ender opp med

[tex](\frac{3}{x}-1)^{\frac 13}[/tex]
Som burde være lik 0. (dette er et litt morsomt tilfelle, for [tex]x^{\frac 1 3}[/tex] er en flerverdi-funksjon. Vi må velge oss en hovedgren for at dette ikke skal tvetydig)

Altså har du endt opp med [tex]\: (\frac{3}{x}-1)^{\frac{1}{3}}[/tex].

Og:
[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} (\frac{3}{x}-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{1}{3}}=-1[/tex]

Får altså IKKE svar lik +1 som er det riktige men istede får svar lik -1 som er feil.

Hvorfor får man ikke svar lik +1 ?

Jeg ser at jeg har gjort en liten regnefeil.

Deriverte av teller skal være
[tex]-\frac{1}{3}(\frac{3}{x}-1)^{-\frac 23} \frac{3}{x^2}[/tex]

Da stemmer alt.

Da får man:

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{3}{x}-1)^{- \frac{2}{3}}=\infty[/tex]

Altså får man svar lik uendelig men svaret skal være lik 1.

Hvordan skal man få svar lik 1 som er det riktige?

Hvordan får du den til å gå til uendelig?

Evt kan du skrive
[tex](3x^2-x^3)^{\frac{1}{3}}+x = \frac{(3x^2-x^3)+x^3}{(3x^2-x^3)^{\frac{2}{3}}-(3x^2-x^3)^{\frac{1}{3}}x+x^2}=\frac{3}{(\frac{3}{x}-1)^{\frac{2}{3}}-(\frac{3}{x}-1)^{\frac{1}{3}}+1}[/tex]

ved å bruke faktoriseringen [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]