Side 1 av 1
Finn størst areal av rektangel
Lagt inn: 11/01-2011 20:56
av Integralen
Oppgave14.
Hva er det største arealet til et rektangel som kan innskrives i en sirkel med radius r (se figuren) ?
![Bilde](http://bildr.no/thumb/798108.jpeg)
Lagt inn: 11/01-2011 21:45
av gabel
[tex]2r^2[/tex]?
Lagt inn: 11/01-2011 22:20
av Nebuchadnezzar
Riktig det gabel, alltid lurt å tegne tegning på geometrioppgaver.
Og da burde denne gå rimelig fort å løse.
om en utfordring klarer du å gjøre det samme for en innskrevet kjegle i en sfære, eller en innskrevet kube om en kjegle blir for komplisert ^^
Lagt inn: 11/01-2011 22:25
av Integralen
Hvordan kommer man frem til 2r^2 som svar?
Lagt inn: 11/01-2011 22:36
av Nebuchadnezzar
Se på tegningen min, klarer du å se 4 trekanter der, hvor sidelengdene er r og r? Hva skjer om man legger sammen arealet av disse 4 trekantene?
Lagt inn: 11/01-2011 22:50
av Audunss
Svaret er riktig, men du har ingen framgangsmåte eller liknende for å vise at det er det faktisk største arealet, siden det er under høyskole og universitet regner jeg med at en del av oppgaven er å optimere et slikt areal.
Edit: tenkte feil, har ikke noe nyttig å si
![Sad :(](./images/smilies/icon_sad.gif)
Lagt inn: 11/01-2011 22:59
av Integralen
Å ja, seff.
[tex]A=\frac{1}{2}abSin(v)[/tex]
Der a og b er hvilke som helst to sider i trekant og Sin(V) er vinkelen mellom dem.
Får da:
[tex]4(\frac{1}{2}r^2Sin(\frac{\pi}{2}))=2r^2[/tex]
Takk for hjelpen!
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
Lagt inn: 11/01-2011 23:07
av Fibonacci92
En grei huskeregel er at et kvadrat alltid gir størst areal.
En måte å illustrere dette på er
5^2 = 25
(5+1)*(5-1) = 24
Ved å studere konjugatsetningen ser du at
(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 < a^2
som i alle fall har litt å gjøre med det du spør om:)
Lagt inn: 12/01-2011 05:09
av FredrikM
Nebuchadnezzar skrev:Se på tegningen min, klarer du å se 4 trekanter der, hvor sidelengdene er r og r? Hva skjer om man legger sammen arealet av disse 4 trekantene?
Hvorfor antar du at rektangelet må være et kvadrat?
Lagt inn: 12/01-2011 08:34
av Gustav
Fibonacci92 skrev:En grei huskeregel er at et kvadrat alltid gir størst areal.
En måte å illustrere dette på er
5^2 = 25
(5+1)*(5-1) = 24
Ved å studere konjugatsetningen ser du at
(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 < a^2
som i alle fall har litt å gjøre med det du spør om:)
Det er ingenting her som tilsier at summen av sidelengdene skal være konstant.
De facto er den ene siden i et generelt rektangel innskrevet i en sirkel med radius r, [tex]x[/tex] mens den andre er [tex]2\sqrt{r^2-\frac14 x^2}[/tex].
Så problemet blir å finne maksimum til funksjonen [tex]f(x)=2x\sqrt{r^2-\frac14 x^2}[/tex] der [tex]0\leq x\leq 2r[/tex]
Lagt inn: 12/01-2011 16:19
av Fibonacci92
Ja beklager... der tenkte jeg helt feil.
Lagt inn: 12/01-2011 20:45
av Bentebent
Hvorfor ikke bare det som Gabel gjorde?
r*r
---- *4 = 2r^2
2
Det virket i hvert fall mye enklere!
Lagt inn: 12/01-2011 20:55
av Vektormannen
Det er riktig svar, men man må også vise at dette faktisk er det største arealet man kan oppnå.