matematikk.net

Oppgave 9:
Et svømmebasseng er 25 m langt, 10m bredt, 1m dypt i den grunne enden og 6 m dypt i den dype enden. Bunnen skrår jevnt. Bassenget fylles med vann, 2000 liter per minutt. Hvor fort stiger vannet i bassenget ved det tidspunktet da vanndybden i den dype enden er 3 m?

Prøvde:
Antok at tegningen blir slik som følger:


Jeg antar at :
[tex] V^\prime(t)=2m^3 \:[/tex]
[tex]h(t)=3m[/tex]
[tex]h^\prime(t)=?[/tex]
[tex]V(t)=?[/tex]
Hvordan skal man nå gå fram til å finne [tex]\: h^\prime(t) \: \: ?[/tex] (som jeg antar er det oppgaven spør etter) Og hvordan er V(t) definert her?

Ifølge fasiten skal svaret være :
[tex]\: \frac{4}{3}\:[cm/min][/tex]

Så hva skjer her?

(Jeg hadde gjort en håpløs feil i mitt orginale svar. Dette skulle dog bli riktig:)

Volumet av vannet som funksjon av vannhøyden blir

[tex]V(h)=25h^2[/tex]. (Bruk formlikhet)

Derivasjon av V mhp tida gir at

[tex]\frac{dV}{dt}=50h\frac{dh}{dt}=2[/tex]. Når [tex]h=3[/tex] blir derfor

[tex]\frac{dh}{dt}=\frac{2}{150}[m/min]=\frac43 [cm/min][/tex]

Kan du vise hvordan formlikheten blir med utregning slik at du får volumet av vannet med hensyn på høyden av vannet?

Integralen skrev:Kan du vise hvordan formlikheten blir med utregning slik at du får volumet av vannet med hensyn på høyden av vannet?

Tverrsnittet av vannet blir en rettvinklet trekant med grunnlinje lik vannhøyden h(vannhøyden på det dybeste av bassenget) og høyde x. Formlikheten gir at [tex]5=\frac{25}{5}=\frac{x}{h}[/tex].

Arealet av tverrsnittet til vannet blir [tex]A=\frac{xh}{2}=\frac{5h*h}{2}[/tex] så volumet av vannet når vannhøyden er h blir [tex]V(h)=10*A=25h^2[/tex]

1. Kan du markere område av tversnittet til vannet på bildet over etter at du har åpnet den i paint?(område som danner en rettvinklet trekant)

2.Jeg antar at du har tatt roten av 25 for å få 5 som du har satt lik formlikheten, men hvorfor det?Hva er den trigonometriske forklaringen på dette?

Integralen skrev:1. Kan du markere område av tversnittet til vannet på bildet over etter at du har åpnet den i paint?(område som danner en rettvinklet trekant)

2.Jeg antar at du har tatt roten av 25 for å få 5 som du har satt lik formlikheten, men hvorfor det?Hva er den trigonometriske forklaringen på dette?

Figuren du har tegnet er ikke helt riktig. Jeg tror det skal se slik ut: (det blå området er vannet som fylles i bassenget)



Trekantene ABC og ADE på bildet er formlike.

Svar på spørsmål 2: Har ikke tatt noen rot, nei. 25 delt på 5 er forholdet mellom de to sidene i den største trekanten(trekant ABC) på bildet jeg poster over.

Dette forklarer jo det hele. Fin tegning foresten!