matematikk.net

Oppgave 15.
Figuren viser posisjonen og hastigheten til to skip, A og B, sett ovenfra. Skip A nærmer seg skjæringspunktet C med en fart på 10 nautiske mil i timen, mens B seiler vekk fra C med en fart på 11 mil i timen. Avstanden fra A til C er 5 mil, mens avstanden fra C til B er 3 mil. Vinkelen mellom skipenes kurser er 60 grader.



a) Finn avstanden mellom skipene
b)Hvor fort endrer avstanden mellom skipene seg?Øker eller minker den?

Fasitsvar for a) er 7 mil/t og for b) er 9/14 nautiske mil/t.

Prøvde slik for a) :
Satte:
[tex]x^2+xy+y^2=s(t)^2[/tex]
der x=AC og y=CB og s=AB,
[tex]s(t)=\sqrt{x(t)^2+x(t)y(t)+y^(t)2}=\sqrt{5^2+5\cdot 3 +3^2}=7[/tex]

Altså riktig svar 7 mil/t.

Men da jeg prøvde å derivere dette uttrykket som jeg brukte i a) for å løse b) så fant jeg ikke riktig svar:
[tex]2x(t)x^\prime(t)+x(t)x^\prime(t)\cdot y(t)+x(t)\cdot y^\prime(t)y(t)+2y(t)y^\prime(t)=2s(t)s^\prime(t)[/tex]

[tex]s^\prime(t)=\frac{2x(t)x^\prime(t)+x(t)x^\prime(t)\cdot y(t)+x(t)\cdot y^\prime(t)y(t)+2y(t)y^\prime(t)}{2s(t)}[/tex]

[tex]s^\prime(t)=\frac{2\cdot5\cdot10+5\cdot10\cdot3+11\cdot3\cdot5+2\cdot3\cdot11}{2\cdot7}=\frac{481}{14}=34,35...[/tex]

Som altså ifølge fastien ikke er riktig svar.Så hva gjør jeg feil og hvordan blir det riktig?

To ting - avstanden fra A til C (x) øker ikke, den minker, så x' burde være negativ. Dessuten har du derivert litt feil også - sjekk den deriverte av xy med hensyn på t en gang til.

1.Hvorfor øker avstanden fra A til C,kan du forklare dette litt nærmere?

Og hva ligger bak definisjonen av:
[tex]x^2+xy+y^2=AB^2[/tex]

2.Hvilke trigonometriske ting er brukt for å komme frem til denne likheten??????

Integralen skrev:Oppgave 15.
Figuren viser posisjonen og hastigheten til to skip, A og B, sett ovenfra.
Fasitsvar for a) er 7 mil/t og for b) er 9/14 nautiske mil/
[tex]s^\prime(t)=\frac{2x(t)x^\prime(t)+x(t)x^\prime(t)\cdot y(t)+x(t)\cdot y^\prime(t)y(t)+2y(t)y^\prime(t)}{2s(t)}[/tex]

dette blir riktig:
[tex]s^\prime(t)=\frac{2x(t)x^\prime(t)+x^\prime(t)\cdot y(t)+x(t)\cdot y^\prime(t)+2y(t)y^\prime(t)}{2s(t)}[/tex]

======================
2.Hvilke trigonometriske ting er brukt for å komme frem til denne likheten?

COSinussetninga

Ja, skjønte det hele nå.

Janhaa er en flink lærer

Integralen skrev:1.Hvorfor øker avstanden fra A til C,kan du forklare dette litt nærmere?

Som sagt øker den ikke, den minker. Skipet i A kjører mot C, så avstanden mellom dem blir mindre, så den deriverte av lengden AC (som du har kalt x) er negativ. Når du setter inn verdier for x' må du da velge riktig fortegn på dem - den blir altså ikke lik 10, men -10.

Akkruatt det jeg skjønte, bare et slurvefeil der, Karl Erik, takker!