matematikk.net

Oppgave 7.4.7
Vis at funksjonen [tex]\: f(x)=tan(x) \:[/tex] er injektiv på intervallet [tex]\: (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \: [/tex]. Finn en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

prøvde slik:

[tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}=\frac{1}{\frac{1}{cos^2(x)}}=cos^2(x)[/tex]

Men i fasiten står det [tex]\: g^\prime(x)=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Er fasiten feil? Hvis fasiten er rett, hvordan kom fasiten til dette svaret?

den er vel injektiv, så vidt jeg ser...
videre:

[tex]f(x)=y=\tan(x)[/tex]
der
[tex]y^,=1+\tan^2(x)=1+y^2[/tex]

for omvendte funksjoner, etc:

[tex]g^,(y)=\frac{1}{y^,}=\frac{1}{1+y^2}[/tex]

Ja, da stemmer det,takk.