matematikk.net

Oppgave 8
Anta at g er den omvendte funksjonen til en kontinuerlig, strengt monoton funksjon f og at f er to ganger deriverbar i punktet y=g(x). Vis at g er to ganger deriverbar i x og at[tex]\: g^\prime^\prime(x)=- \frac{f^\prime^\prime[g(x)]g^\prime(x)}{f^\prime[g(x)]^2} \:[/tex]forutsatt at [tex]\: f^\prime[g(x)] \:[/tex] ulik 0.

La f(x)=sin(x) og beregn [tex]\: g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]


Hvordan skal man beregne denne?

første del;
gitt:

[tex]f(g(x))=x[/tex]

deriverer begge sider vha kjerneregel:

[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]


[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]

deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:

[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]

der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]

@Janhaa: Antar ikke dette at g er èn gang deriverbar i utgangspunktet? Beviset ditt stemmer i hvert fall om man kan vise dette.

Janhaa skrev:første del;
gitt:

[tex]f(g(x))=x[/tex]

deriverer begge sider vha kjerneregel:

[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]


[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]

deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:

[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]

der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]

Dette er helt riktig!

Videre prøver jeg å beregne [tex]\:g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex].
Dette prøvde jeg ut slik:

Jeg antok at [tex]\: f^\prime^\prime[g(x)]=-sin(g(x)) \:[/tex]
Dette tenkte jeg fordi:[tex]\: f(x)=sin(x)[/tex].

Videre antok jeg at [tex]f^\prime[g(x)]^2=cos(g(x))^2[/tex]

Og antok videre at [tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}=\frac{1}{cos(x)[/tex]

Hvis jeg setter i formelen over nå så stopper det opp fordi x og g(x) ikke er gitt noe verdi for.


Hvordan beregner man [tex]g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]
(Kan du vise til svaret?)

Charlatan skrev:@Janhaa: Antar ikke dette at g er èn gang deriverbar i utgangspunktet? Beviset ditt stemmer i hvert fall om man kan vise dette.

Jo, det gjør vel det. Som vanlig hiver jeg meg på oppgaver,
uten særlig "forarbeid".

Integralen skrev:

Janhaa skrev:første del;
gitt:
[tex]f(g(x))=x[/tex]
deriverer begge sider vha kjerneregel:
[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]
[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]
deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:
[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]

Dette er helt riktig!
Videre prøver jeg å beregne [tex]\:g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex].
Dette prøvde jeg ut slik:
Jeg antok at [tex]\: f^\prime^\prime[g(x)]=-sin(g(x)) \:[/tex]
Dette tenkte jeg fordi:[tex]\: f(x)=sin(x)[/tex].
Videre antok jeg at [tex]f^\prime[g(x)]^2=cos(g(x))^2[/tex]
Og antok videre at [tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}=\frac{1}{cos(x)[/tex]
Hvis jeg setter i formelen over nå så stopper det opp fordi x og g(x) ikke er gitt noe verdi for.
Hvordan beregner man [tex]g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]
(Kan du vise til svaret?)

nå må du huske at f = y = sin(x), og da er den omvendte funksjonen lik
g = x = arcsin(y).
Men den deriverte til g, g' [symbol:ikke_lik] 1/cos(x)
=============

prøv deg fram finn den deriverete til arcsin(y) etc...fin trening

Da får jeg:

[tex]g^\prime^\prime(x)=\frac{- -sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(sin(x))^2}}}{[cos(x)]^2}[/tex]

Hivs jeg setter x=0,5 får jeg til svar 0,71....

Har man satt det riktig over?Hvis ikke, hvordan blir det riktig?

Integralen skrev:Da får jeg:
[tex]g^\prime^\prime(x)=\frac{- -sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(sin(x))^2}}}{[cos(x)]^2}[/tex]
Hivs jeg setter x=0,5 får jeg til svar 0,71....
Har man satt det riktig over?Hvis ikke, hvordan blir det riktig?

[tex]g^"(x)=\frac{-sin(\arcsin(x))\cdot{1\over{\sqrt{1-x^2}}}}{cos(\arcsin(x))^2}=\frac{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{-x}{(1-x^2)^{3/2}}[/tex]

trur eg...

Det høres veldig logisk ut, du har nok rett, bare at det ikke skal være minus i teller siden den blir fjernet under innsettingen.