matematikk.net

Hei

Sliter litt med en oppgave

Den lineære transformasjonen T(x)=Ax

Har et system som tar inn en n-dimensjonal vektor og produserer en m-dimensjonal vector y=Ax.

Skal først anta at m=n og at A er invertibel. Og så skal man vise at enhver ikke-negativ y-vektor kan bli produsert (I tillegg står det at for enhver y-vektor som er ikke-negativ og er m-dimensjonal så finnes det en unik x som er n-dimensjonal slik at y=T(x)). Finn en formel for denne x!

Går oppgaven rett og slett ut på å finne en vector x som gir y=Ax større eller lik 0 for hvilken som helst matrise A? Synes det virker litt overveldende...

Er det noen som kan hjelpe til med å dytte meg litt i riktig retning her så blir jeg glad. Står man skal bruke grunnlegende lineær algebra, og jeg blir veldig usikker på hvordan man skal angripe det her.

Hilsen meg

Tja, du vet du at A er invertibel. Kan du da definere en inverstransformasjon T[sup]-1[/sup](y)=x?

Hvorfor er det forresten fokus på ikke-negativitet for y?

Ja, man kan vel det. Slik at x=(inv(A))*y

lurer bare på hvordan man kan vise at alt man putter inn blir til noe positivt?

grunnen til denne ikke-negativiteten er at oppgaven senere handler om matematisk finans

Det oppgaven ber om er at du skal vise at enhver positiv y-vektor kan bli produsert, ikke at alle x-vektorer gir positive y-vektorer. Da ville ikke T være en lineær transformasjon. Det du skal gjøre er altså å vise at en lineær transformasjon fra [tex]\mathbb{R}^n[/tex] til [tex]\mathbb{R}^n[/tex] gitt ved en invertibel matrise er injektiv.

Ah. Mener du at man må vise at Ax=0 kun har løsningen x=0?

Det er tilstrekkelig for å vise at A er invertibel, men vi antar at dette er sant, så det er unødvendig. Du må vise at ligningen Ax=y har en løsning for alle (positive) y.

Man har et teorem som sier at hvis en matrise A er invertibel så
vil Ax=y ha en minst en løsning for enhver y i R^n. Kan jeg bruke dette?

Ja, det er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for å besvare oppgaven. Du må vise at det kun fins én løsning for hver y, og du skal finne et uttrykk for den løsningen.

A er invertibel og siden det er n ledende elementer så er det ingen frie variable og dermed bør det kun eksistere én løsning av Ax=y?

Det er ikke et uttrykk for løsningen av ligningen.

Det oppgaven spør om er om det for alle ikkenegative vektorer y fins en x slik at Ax=y. Dersom A er invertibel er dette opplagt: La y være en ikkenegativ vektor. Da vil inv(A)y være en slik vektor siden Ainv(A)y=Iy=y.