matematikk.net

Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)

Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]

Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:

- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]
- Vis at det ikke finnes noen 2x2 matrise B slik at [tex]B^2 =A[/tex]

Hvordan løser man dette?

SNURRE skrev:Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)
Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]
Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:
- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]

nå er det flere år sida jeg har holdt på med matriser etc, men for den første gjelder:

[tex]A=\left(\begin{matrix} 11 & -6\\18 & -10 \end{matrix}\right)[/tex]

[tex]A^2=\left(\begin{matrix} 13 & -6\\18 & -8 \end{matrix}\right)[/tex]

[tex]2I=\left(\begin{matrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]

altså:

[tex]\left(\begin{matrix} 13 & -6\\18 & -8 \end{matrix}\right)\,+\,c\left(\begin{matrix} 11 & -6\\18 & -10 \end{matrix}\right)\,=\,\left(\begin{matrix} 2 & 0\\0 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]

for c = -1

På spørsmål nummer to der så holder det vel å se på determinantene. Du vet at det A = -2. Hvis [tex]B^2[/tex] skal være samme matrise, så må også den ha determinant -2. Er det mulig?

Janhaa skrev:

SNURRE skrev:Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)
Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]
Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:
- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]

nå er det flere år sida jeg har holdt på med matriser etc, men for den første gjelder:

[tex]A=\left(\begin{matrix} 11 & -6\\18 & -10 \end{matrix}\right)[/tex]

[tex]A^2=\left(\begin{matrix} 13 & -6\\18 & -8 \end{matrix}\right)[/tex]

[tex]2I=\left(\begin{matrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]

altså:

[tex]\left(\begin{matrix} 13 & -6\\18 & -8 \end{matrix}\right)\,+\,c\left(\begin{matrix} 11 & -6\\18 & -10 \end{matrix}\right)\,=\,\left(\begin{matrix} 2 & 0\\0 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]

for c = -1

Det så veldig bra ut! Takk!
Eneste jeg ikke forstår er hvordan du regnet ut [tex]A^2[/tex] ?

Vektormannen skrev:På spørsmål nummer to der så holder det vel å se på determinantene. Du vet at det A = -2. Hvis [tex]B^2[/tex] skal være samme matrise, så må også den ha determinant -2. Er det mulig?

Hvordan vet vi at [tex]B^2 [/tex]være samme matrise?
Selvsagt er det ikke mulig at de blir like om den også må ha determinant -2, men hvordan vet vi at det skal være samme matrise, med samme determinant?

Den skjønner jeg ikke helt hvordan jeg skal skrive opp / sette opp?

SNURRE skrev:

Vektormannen skrev:På spørsmål nummer to der så holder det vel å se på determinantene. Du vet at det A = -2. Hvis [tex]B^2[/tex] skal være samme matrise, så må også den ha determinant -2. Er det mulig?

Hvordan vet vi at [tex]B^2 [/tex]være samme matrise?
Selvsagt er det ikke mulig at de blir like om den også må ha determinant -2, men hvordan vet vi at det skal være samme matrise, med samme determinant?
Den skjønner jeg ikke helt hvordan jeg skal skrive opp / sette opp?

1:
for matriseprodukt, se læreboka di - rett og slett.
=============
2:
det står jo i oppgava at
[tex]B^2=A[/tex]

Janhaa skrev:

SNURRE skrev:

Vektormannen skrev:På spørsmål nummer to der så holder det vel å se på determinantene. Du vet at det A = -2. Hvis [tex]B^2[/tex] skal være samme matrise, så må også den ha determinant -2. Er det mulig?

Hvordan vet vi at [tex]B^2 [/tex]være samme matrise?
Selvsagt er det ikke mulig at de blir like om den også må ha determinant -2, men hvordan vet vi at det skal være samme matrise, med samme determinant?
Den skjønner jeg ikke helt hvordan jeg skal skrive opp / sette opp?

1:
for matriseprodukt, se læreboka di - rett og slett.
=============
2:
det står jo i oppgava at
[tex]B^2=A[/tex]

I læreboken står det kun hvordan jeg skal addere matriser, ikke multiplisere dem, dette skulle være en liten nøtt, så det er ikke så mye hjelp i læreboken..

Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal skrive det opp / Bevise at det ikke finnes noen 2x2 matrise som oppfyller [tex]B^2 = A[/tex] ?

SNURRE skrev:Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)

Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]

Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:

- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]
- Vis at det ikke finnes noen 2x2 matrise B slik at [tex]B^2 =A[/tex]

Hvordan løser man dette?

Hei.

Er en stund siden jeg hadde lineær algebra, men kan ikke dette løses enkelt som følger?:

En måte å gå frem på er at:

Hvis [tex]B^2 = A[/tex]

Så må [tex]B = \sqrt(A)[/tex]

Da får vi at:

[tex]B = \begin{bmatrix} \sqrt(11) & \sqrt(-6) \\ \sqrt(18) & \sqrt(-10) \end{bmatrix}[/tex]

Her ser vi altså at vi får negative kvadratrøtter, og disse eksisterer ikke (med mindre man tillater komplekse tall, men regner med at man ikke gjør det i den gitte oppgaven).

1: jeg synes det høres veldig merkelig ut at matrisemultiplikasjon ikke står i læreboka di:

http://people.hofstra.edu/stefan_waner/ ... es3_2.html

http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html
===================
2:
jo akkurat det jeg skal si krje1980, ellers får man komplekse matriser,
og det er neppe pensum...

Janhaa skrev:1: jeg synes det høres veldig merkelig ut at matrisemultiplikasjon ikke står i læreboka di:

http://people.hofstra.edu/stefan_waner/ ... es3_2.html

http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html
===================
2:
jo akkurat det jeg skal si krje1980, ellers får man komplekse matriser,
og det er neppe pensum...

Takk skal du ha! Da fikk jeg orden på matrise multiplikasjonen!

Vil det holde å skrive det krje1980 som ett fullverdig svar ?

krje1980 skrev:

SNURRE skrev:Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)

Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]

Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:

- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]
- Vis at det ikke finnes noen 2x2 matrise B slik at [tex]B^2 =A[/tex]

Hvordan løser man dette?

Hei.

Er en stund siden jeg hadde lineær algebra, men kan ikke dette løses enkelt som følger?:

En måte å gå frem på er at:

Hvis [tex]B^2 = A[/tex]

Så må [tex]B = \sqrt(A)[/tex]

Da får vi at:

[tex]B = \begin{bmatrix} \sqrt(11) & \sqrt(-6) \\ \sqrt(18) & \sqrt(-10) \end{bmatrix}[/tex]

Her ser vi altså at vi får negative kvadratrøtter, og disse eksisterer ikke (med mindre man tillater komplekse tall, men regner med at man ikke gjør det i den gitte oppgaven).

Dette virker helt stuerent ... Får du tilbake A ved å gange denne B-en du har funnet med seg selv? [tex]B^2[/tex] er jeg ganske sikker på betyr matriseproduktet mellom de to, altså en ny matrise med dotproduktet mellom rad og kolonnevektorer i hvert element.

Vektormannen skrev:

krje1980 skrev:

SNURRE skrev:Hei.
Jeg har følgende matrise:
A = ( Linje1: 11, -6, Linje2: 18, -10)

Jeg har regnet ut determinanten til [tex]A = -2 [/tex]

Neste del av oppgaven skjønner jeg ingentingen av, oppgaven lyder som følger:

- Vis for en passende konstant c at vi har: [tex]A^2 +cA = 2I_2[/tex]
- Vis at det ikke finnes noen 2x2 matrise B slik at [tex]B^2 =A[/tex]

Hvordan løser man dette?

Hei.

Er en stund siden jeg hadde lineær algebra, men kan ikke dette løses enkelt som følger?:

En måte å gå frem på er at:

Hvis [tex]B^2 = A[/tex]

Så må [tex]B = \sqrt(A)[/tex]

Da får vi at:

[tex]B = \begin{bmatrix} \sqrt(11) & \sqrt(-6) \\ \sqrt(18) & \sqrt(-10) \end{bmatrix}[/tex]

Her ser vi altså at vi får negative kvadratrøtter, og disse eksisterer ikke (med mindre man tillater komplekse tall, men regner med at man ikke gjør det i den gitte oppgaven).

Dette virker helt stuerent ... Får du tilbake A ved å gange denne B-en du har funnet med seg selv? [tex]B^2[/tex] er jeg ganske sikker på betyr matriseproduktet mellom de to, altså en ny matrise med dotproduktet mellom rad og kolonnevektorer i hvert element.

Jeg tror du har helt rett. Husker nå at den regelen jeg bruker kun er gyldig dersom vi har en diagonalisert matrise (f.eks. en matrise bestående av egenverdier langs diagonalen).

Dere kan derfor se bort fra min løsning. Beklager. Som sagt så er det en stund siden jeg hadde lineær algebra.

SNURRE skrev:

Janhaa skrev:1: jeg synes det høres veldig merkelig ut at matrisemultiplikasjon ikke står i læreboka di:

http://people.hofstra.edu/stefan_waner/ ... es3_2.html

http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html
===================
2:
jo akkurat det jeg skal si krje1980, ellers får man komplekse matriser,
og det er neppe pensum...

Takk skal du ha! Da fikk jeg orden på matrise multiplikasjonen!

Vil det holde å skrive det krje1980 som ett fullverdig svar ?

Nei, som sagt ovenfor her holder det ikke. Har du hatt om determinanter? Hvis ikke blir det litt vrient å vise dette tror jeg.

Hei igjen.

Som sagt så må jeg beklage mitt svarforslag. Det er kun når man har en diagonal matrise av mitt forslag fungerer.

Imidlertid ser jeg nå en annen måte å løse dette på .

Lå oss altså si at vi har:

[tex]A = B^2[/tex]

Da må:

det[tex]A[/tex] = det[tex](B^2)[/tex]

Eller:

det[tex](A)[/tex] = det[tex](B)[/tex]det[tex](B)[/tex]

Men i og med at i har at det[tex](A)[/tex] = [tex]-2[/tex] er dette ikke mulig. Vi kan ikke ha:

[tex]-2[/tex] = det[tex](B)[/tex]det[tex](B)[/tex]

ettersom produktet av to like tall ikke kan bli negativt.

Ergo finnes det ingen matrise [tex]B[/tex] som er slik at [tex]A = B^2[/tex]

Veldig god forklaring på det siste innlegget ditt Krje1980
Forstod det veldig bra. Takk skal du ha