matematikk.net

Hei, sliter med en oppgave her.

La [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
a)
Vis at funksjonen [tex]f_n (x) = x^5 + nx - 1[/tex] har nøyaktig ett (reellt) nullpunkt og at dette ligger i intervallet [tex]\left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right)[/tex].

Hvordan i all verden gjør man dette? Jeg er helt blank.

Jeg drister meg forresten til å stille oppfølgerspørsmålet i samme slengen, siden jeg neppe blir klokere etter å eventuelt ha fått til denne a-oppgaven... Så:

b)
Kall nullpunktet [tex]a_n[/tex]. Bestem om rekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n[/tex]
konvergerer absolutt. Konvergerer rekken betinget?

c)
For hvilke [tex]x[/tex] konvergerer potensrekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n}[/tex]

Håper noen av dere kloke hoder tar dere tid til å hjelpe meg. Står virkelig fast.

På forhånd tusen takk!

a) Funksjonen er kontinuerlig, så hvis den kan bli både positiv og negativ, da vet du i alle fall at den må ha nullpunkter. Du kan sikkert finne x-verdier som gir begge deler, og da har du vist at den har i alle fall ett nullpunkt. For å vise at det er det eneste, kan du se på den deriverte. Hva kan du si om denne? For å vise at nullpunktet ligger i det oppgitte intervallet setter du inn endepunktene i funksjonen. Hvilke verdier får du da?

b) Ang. absolutt konvergens: Du vet at [tex]a_n > \frac{1}{n+1}[/tex]. Kan du si noe om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex]?

For at en alternerende rekke skal være betinget konvergent så har du to ting som skal være oppfylt: Leddene skal være avtagende i absoluttverdi (i alle fall hvis du går langt nok ut i rekken), dvs. [tex]|a_{n+1}| < |a_n|[/tex] og leddene skal grense mot 0 når n går mot uendelig.

c) Konvergensradius for en potensrekke finner du ved å beregne grenseverdien [tex]L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/tex]. Da er konvergensradien gitt ved R=1/L. Her vet du ikke hva [tex]a_n[/tex] er. Men du vet at [tex]\frac{1}{n+1} < a_n < \frac{1}{n}[/tex]. Hva kan du si om [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}[/tex] og [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}}[/tex]?

Kan noen hjelpe litt videre med c?

Grenseverdiene til de to uttrykkene er 1..

Men hva gjør jeg med dette??

Hvis grenseverdiene av de uttrykkene er 1, og du vet at [tex]a_n[/tex] ligger mellom dem, hva vil da [tex]a_n[/tex] gå mot?

Vektormannen:

Kan du forklare hvorfor [tex]a_n[/tex] må ligge mellom de to verdiene. Jeg klarer ikke å se det.

Hmm, det kan være jeg har tenkt helt feil da, men [tex]a_n[/tex] er nullpunktene til funksjonen [tex]f_n[/tex], som i a) blir vist at ligger i intervallet [tex]\left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)[/tex].

Ah derja.

Da bør det stemme. (leste bare ikke førsteposten nøye nok)

Vektormannen skrev: b) Ang. absolutt konvergens: Du vet at [tex]a_n > \frac{1}{n+1}[/tex]. Kan du si noe om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex]?

Kan noen si meg hva dette hjelper oss og hvordan det hjelper oss videre?

Rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex] divergerer. Hvis hvert ledd i rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] er større enn hvert ledd i den rekken, hva kan du da konkludere med?