Differensialligninger!

[Baz]

Har to differensialligninger jeg skal løse!

1)

2yy' = x / [symbol:rot] (x^2 - 16)

og

2)

2xyy' = (4x^2) + (3y^2)

Noen som kan hjelpe meg litt i gang?

[Hi im HK]

Kan du sette [tex]y[/tex]' = [tex] = \frac{{dy}}{{dx}}[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Første er egentlig rimelig grei, bare ta å integrer begge sider.
Bruker man en enkel substitusjon for å få svaret.

Neste oppgave er litt værre.

Ser ikke ut som om den er seperabel...

[Hi im HK]

Jeg har ikke anelse hvordan man løser #2.

Jeg lurer på hvordan [tex]\int {\frac{x}{{x - 4}}dx} [/tex] blir? Noen som kan forklare?

[Janhaa]

Har to differensialligninger jeg skal løse!
2)
2xyy' = (4x^2) + (3y^2)
Noen som kan hjelpe meg litt i gang?

gjør om denne 1. orden ikke lineær ODE til
1. orden lineær ODE:
[tex]v=3y^2[/tex]
[tex]v^,=6yy^,[/tex]
dvs
[tex]xv^,=12x^2+3v[/tex]
som gir
[tex]v(x)=C_1x^3-12x^2[/tex]
dvs
[tex]3y^2=C_1x^3-12x^2[/tex]
...
[tex]y=\pm\sqrt{C_2x^3-4x^2[/tex]

[mstud]

Hei!

2)
Jeg leste akkurat i en bok om en metode som går an å bruke på slike differensialligninger. Er ikke så lenge siden jeg begynte med diff.ligninger, så hvis jeg gjør noe feil, håper jeg at det kommer noen som kan rette på meg

Den opprinnelige ligningen din er: [tex]2xyy^{\prime}=4x^2+3y^2[/tex] Først kan du skrive [tex]y^{\prime}[/tex] som [tex]\frac {dy}{dx}[/tex]:

[tex]2xy*\frac {dy}{dx}=4x^2+3y^2[/tex] Deler deretter på 2xy og får:

[tex]\frac {dy}{dx}=\frac {4x^2+3y^2}{2xy}[/tex] Dermed har du en differensialligning på formen [tex]\frac {dy}{dx}=f(x,y)[/tex] Her kan du substituere y=xv dersom f(x,y)=f(tx,ty), der t er en konstant.

For å kontrollere om det er mulig å substituere y=xv, setter vi inn tx for x og ty for y, og ser om uttrykket vi da får kan forkortes til en funksjon av x og y, i så fall vil den egentlige substitusjonen av ligningen føre fram.

I dette tilfellet får vi da at f(tx,ty), kan forkortes til en funksjon f(x,y):
[tex]\frac {dy}{dx}=\frac {4t^2 x^2+3t^2 y^2}{2txty}=\frac {t^2(4 x^2+3 y^2)}{t^2(2xy)}=\frac {4x^2+3y^2}{2xy}[/tex]
Altså fikk vi i dette tilfellet den opprinnelige ligningen ut igjen.

Da kan du substituere y=xv inn i differensialligningen, [tex]\frac {dy}{dx}=v+x \frac {dv}{dx}[/tex] (Hvordan man kommer fram til at den deriverte av y derivert for x er akkurat dette, har jeg ikke noen forklaring på, men tok det for god fisk når det sto i boken ), og får etter substitusjonen:

[tex]v+x \frac {dv}{dx}=\frac {4x^2+3(xv)^2}{2xxv}=\frac {4x^2+3x^2 v^2}{2x^2 v}=\frac {\cancel{x^2} (4+3v^2)}{\cancel{x^2} (2v)}=\frac {4+3v^2}{2v}[/tex] Så kan du flytte v over til andre siden, og forkorte enda litt mer:

[tex]x \frac {dv}{dx}=\frac {4+3v^2-v*2v}{2v}=\frac {4+3v^2-2v^2}{2v}=\frac {4+v^2}{2v}[/tex]

Dermed har du en separabel differensialligning:
[tex]x \frac {dv}{dx}=\frac {4+v^2}{2v}[/tex], som du kan løse ved å bl.a. integrere på begge sider omforme uttrykket med mer, og til slutt må du huske å substituere tilbake, dvs. sette [tex]v=\frac {y}{x}[/tex]

Lykke til med å løse denne separable differensialligningen, eller en som ligner hvis det er noen som finner feil her, det skal forresten bli spennende å se om noen gjør

[Charlatan]

Du kan sette u = y^2, og få differensiallikningen xu' = 4x^2+3u, eller
u'-(3/x)u=4x som er enkel å løse.

[mstud]

Jeg har ikke anelse hvordan man løser #2.

Jeg lurer på hvordan [tex]\int {\frac{x}{{x - 4}}dx} [/tex] blir? Noen som kan forklare?

Først kan du plusse på -4 og 4 over brøkstreken, siden 4-4=0 forandrer ikke dette verdien til uttrykket, det bare gjør at vi kan skrive uttrykket på en måte som gjør det enklere å integrere:


[tex]\int {\frac{x-4+4}{x - 4}dx}= \int {(\frac{x-4}{x-4}+\frac 4{x-4}dx}=\int {1+\frac 4{x-4}dx}[/tex] Så integrerer vi hvert av disse leddene for seg:

[tex]\int 1 \ dx +\int \frac 4{x-4} \ dx[/tex] Flytter konstanter utenfor:


[tex]\int 1 \ dx +4 \int \frac 1{x-4} \ dx[/tex] Dette kan integreres vha. "vanlige regler" som f.eks. [tex]\int \frac 1{u} =ln|u|+C[/tex] Og vi får:

[tex]\int 1 \ dx +4 \int \frac 1{x-4} \ dx=x+4 ln|x-4| + C[/tex]


(Jeg så ikke svaret til Janhaa på den differensialligningen, fordi jeg allerede holdt på med mitt svar da, men min metode var sikkert vel tungvint )