Side 1 av 1
Finn øvre trappesum
Lagt inn: 14/04-2011 21:00
av Integralen
Først kommer det et innlegg der man har funnet øvre trappesum i andre omstendigheter enn i min oppgave som du ser nederst :
kjey skrev:OPPGAVE:
La [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] være gitt ved [tex]f(x)=x.[/tex] For hver [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la [tex]\Pi_n[/tex] være partisjonen [tex]\left \{0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1} \right[/tex]. Finn uttrykk for de øvre og nedre trappesummene [tex]\phi(\Pi_n)[/tex] og [tex]N(\Pi_n)[/tex].
--------
Jeg starter med å prøve å finne et uttrykk for den øvre trappesummen. Vet at øvre trappesum er gitt ved
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Det jeg tenkte (for å forenkle uttrykket) er at [tex]M_i[/tex] alltid må være [tex]x_i[/tex] siden det er den som gjør at [tex]f[/tex] får størst verdi i alle tilfellene. Derfor kan jeg skrive at
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Men dette igjen kan jo skrives som
[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}[/tex].
[tex]\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i=(\frac{1}{n^2})\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})[/tex]
Oppgave 8.2.6
La a være et positivt tall, la [tex]\: f(x)=x^2 \:[/tex] og la [tex]\: \Pi_n={0,a/n,2a/n,3a/n,....,a} \:[/tex] være en partisjon av intervallet [0,a].
a)Finn uttrykk for den øvre trappesummen.
På forhånd takk!
Lagt inn: 14/04-2011 21:24
av Markonan
[tex]M_i[/tex] er maksverdien i intervallet, siden du ser på øvre trappesum. For funksjonen x, i intervallet (x[sub]i-1[/sub], x[sub]i[/sub]) vil det største punktet være høyre grensen til intervallet, x[sub]i[/sub].
I ditt tilfelle får du samme maksverdi M[sub]i[/sub] = x[sub]i[/sub], men siden du har f(x) = x[sup]2[/sup] blir det:
[tex]x_i^2\left(x_i - x_{i-1}\right)[/tex]
Er du med? For hvert ledd i summen til den øvre trappesummen er det jo
[tex]\sup_{t_i\in(x_{i-1}, x_i)} f(t_i)\big(x_{i} - x_{i-1}\big)[/tex]
(Dette er fra hukommelsen, så vær kritisk til det jeg skriver, men tror det er riktig da).
OG DET SKADER IKKE Å BRUKE INNESTEMME.
Lagt inn: 14/04-2011 23:01
av Integralen
er dt alltid slik at Mi=x_i
og m_i=x_(i-1)
for alle integrerbare funksjoner?
Lagt inn: 14/04-2011 23:06
av Markonan
Nei, f.eks hvis du f.eks har f(x) = -x, eller hvis du har cos(x) eller sin(x) eller et hvilket som helst polynom som avtar over et intervall stemmer det ikke.
M[sub]i[/sub] = x[sub]i[/sub] når f(x) = x.
M[sub]i[/sub] = f(x_i) når funksjonen er voksende.
(hvis du er på positive delen av x-aksen).
Du velger bare det punktet i intervallet (x[sub]i-1[/sub], x[sub]i[/sub]) der funksjonen f(x) er størst.
Edit: ups.
Lagt inn: 15/04-2011 07:43
av Integralen
så f(x)=-x
har M_i=f(x_{i-1})=x{i-1}
og. m_i=f(x_i)=x_i
f(x)=sinx
M_i=sin({x_{i-1})
m_i=sin(x_i)
og
f(x)=cosx
M_i=cos(x_{i-1})
m_i=cos(x_i)
Og
f(x)=e^x
har M_i=f(x_i)=e^(x_i)
og m_i=f(x_{i-1})=e^(x_{i-1})
og f(x)=x^3
M_i=(x_i)^3
m_i=(x_{i-1})^3
for bestemte intervaller.
Lagt inn: 15/04-2011 10:25
av Markonan
Ikke alltid, det kommer an på intervallet du ser på. F.eks er ikke sinus alltid avtagende, men en oscillerende funksjon.
Tenk på x[sub]i-1[/sub] = 1 og x[sub]i[/sub] = 2 og se på funksjonene da. Nøyaktig samme prinsipp.
Lagt inn: 17/04-2011 19:03
av Integralen
ja, da er det bare å plotte inn tall for funksjonen i det intervallet man befinner seg i så ser man om den er avtagende eller voksende og dermed konkludere størst verdi
Lagt inn: 17/04-2011 20:35
av Markonan
Jupp.
Når man jobber med definisjonen av Riemannintegralet, så er det som regel bare enkle funksjoner man bruker, der man finner maks/min-punktet med en gang. De er jo definisjonen man lærer om, ikke alle mulige slaks teknikaliteter med supremumet over delintervaller etc. (I hvert fall i min erfaring).