matematikk.net

Oppgave 9:
Gitt en funksjon[tex]\: f(x)=sinx \:[/tex] med definisjonsmengde [tex]\: [0, \frac{\pi}{3}] \: [/tex], og la [tex]\: \Pi_{n} \:[/tex] være partisjonen som deler [tex]\: [0, \frac{\pi}{3}] \:[/tex] inn i n like lange delintervaller.

Finn den øvre trappesummen [tex]\: \phi ( \Pi_{n}) \:[/tex]

Hvordan skal man finne den øvre trappesummen da???

Her er plott av sinus fra 0 til [symbol:pi] /3.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... +to+pi%2F3

Kanskje det hjelper litt?

Jobb litt med oppgaven, skriv det du klarer så kanskje jeg klarer å hjelpe deg.

Jeg deler opp intervallet i så mange deler og får en partisjon lik:
[tex]\Pi_{9}=0, \frac{\pi}{10},\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}[/tex]

Dermed har jeg 8 intervall:
[tex][0,\frac{\pi}{10}],[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{9}],[\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{8}],[\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{7}],[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{6}],[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{5}],[\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4}],[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}][/tex]

Og dermed prøver jeg å utlede den øvre trappesummen slik:

[tex]\phi(\Pi_{8})=sin(\frac{\pi}{10}) \cdot \frac{\pi}{10} + sin(\frac{\pi}{9}) \cdot (\frac{\pi}{9}-\frac{\pi}{10}) + sin(\frac{\pi}{8}) \cdot (\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{9}) + sin(\frac{\pi}{7}) \cdot (\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{8}) + sin(\frac{\pi}{6}) \cdot (\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{7}) + sin(\frac{\pi}{5}) \cdot (\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{4}) \cdot (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{5}) + sin(\frac{\pi}{3}) \cdot (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})[/tex]

Klarer du nå å se hvordan man finner [tex] \: \phi(\Pi_{n})?[/tex]

Kan utlede litt mer:

[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]

Før jeg er o mål trenger jeg å vite hva dette under kan settes lik:

Så:Hva er
[tex]M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]

lik???(i vår tilfelle av oppgaven)

Ok, det er 2 problemer med det du har gjort:
Først av alt så skal man som regel ikke bruke en så konkret oppdeling av intervallet (bare hvis det er gitt i oppgaven). Det andre er at du har valgt delintervaller som er av forskjellig størrelse - som gjør det mye vanskeligere.

Først finner du en fin oppdeling. La oss først ta 100 deler, også generaliserer vi det til n. De må være like store, siden det gjør alt sammen mye enklere.

Hadde det vært intervallet fra [0, 1] så kunne du delt det opp med
[tex]\left[0, \;\frac{1}{100},\;\frac{2}{100},\ldots\;\frac{99}{100},\;\frac{100}{100}\right][/tex]

Du kan bruke samme tankegang på intervallet ditt:
[tex]\left[0, \;\frac{1\cdot\pi}{300},\;\frac{2\cdot\pi}{300},\ldots\;\frac{99\cdot\pi}{300},\;\frac{100\cdot\pi}{300}\right][/tex]

Da er det siste elementet det samme som pi/3, så dette ser fint ut.

Vi tar det et skritt videre og generaliserer det for n.
[tex]\left[0, \;\frac{1\cdot\pi}{3n},\;\frac{2\cdot\pi}{3n},\ldots\;\frac{(n-1)\cdot\pi}{3n},\;\frac{n\cdot\pi}{3n}\right][/tex]

Nå har du en fin oppdeling av intervallet du er interessert i. Du kan gjøre det så stort du vil bare å velge en stor verdi for n, og du kan la den gå mot uendelig for å finne verdien til integralet og det viktigste av alt: delintervallene er like lange.

Nå ser vi på den øvre trappesummen. Som du ser på plottet på Wolfram Alpha, så er sinus-funksjonen voksende på hele intervallet du ser på, så på delintervallet [x[sub]i-1[/sub],x[sub]i[/sub]) er funksjonen størst i det høyre punktet.
[tex]M_i(x_i - x_{i-1}) = \sin(x_i)\Big(x_i - x_{i-1}\Big)[/tex]

Ok, nå har jeg hjulpet deg godt på gang. Se om du klarer noe mer selv.

Da har jeg kommet fram til:

[tex]\frac{\pi}{3n} \sum_{i=1}^{n} sin(\frac{i\pi}{3n})[/tex]

Hvordan løser man ut summasjonen?

Bra!

Det du har funnet nå er den øvre trappesummen, og det skal være en sum.

Du kan finne den nedre trappesummen på så og si nøyaktig samme måte, og når du tar øvre trappesum minus nedre trappesum er det ikke så vanskelig å se at du får noe som går mot null når n går mot uendelig. Anbefaler deg å prøve det.

Dette er forresten definisjonen til integralet slik den ble utarbeidet av Bernhard Riemann, som er den særdeles flotte mannen jeg har i avataren min.
<---------

I fasiten er svaret oppgitt etter å ha regnet ut summasjonen.Altså:
[tex]\phi(\Pi_{n})=\frac{sin(\frac{\pi}{6}(1+\frac{1}{n}))}{sin(\frac{\pi}{6n})} \: \: \cdot \frac{\pi}{3n}[/tex]


Så: Hvordan ble [tex] \: \sum_{i=1}^{n} sin(\frac{i\pi}{3n})[/tex]

over til det her :

[tex]\frac{sin(\frac{\pi}{6}(1+\frac{1}{n}))}{sin(\frac{\pi}{6n})}[/tex]

??

Synes det var rart at du skulle beregne den summen. Veldig obskur formel.

Det er i hvert fall en egen formel for å beregne summer for sinus-rekker:

[tex]\sum_{i=1}^n\sin(xi) = \frac{\sin(\frac{nx}{2})\sin(\frac{x}{2}(n+1))}{\sin(\frac{x}{2})}[/tex]

For deg er
[tex]x = \frac{\pi}{3n}[/tex]
og da er det bare å sette inn.

Formelen er her (se formel nr. 12 og nedover, de er markert på høyresiden):
http://mathworld.wolfram.com/Sine.html

Hvordan det ble fra (14) og over til lik (15) hos wolfram mathworld ? (Hvor kom (sin) uttrykket fra som ligger i telleren og nevneren i (15) ?)

Fra Eulers formel, [tex]e^{ix}=\cos\, x + i\sin\, x[/tex], samt bruken av "imaginær projeksjon", [tex]\Im (a+ib)=b[/tex] og litt triksing med algebra, skulle jeg tro.

[tex]\phi(\Pi_{n})=N(\Pi_{n})=\overline{\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}} sin (x)dx=\underline{\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}} sin (x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sin (x)dx=\frac{1}{2}[/tex]

Jeg tenkte på at når Riemann-integralet eksisterer, så vil differensen mellom den øvre- og nedre trappesummen gå mot null.

Øvre trappesum er U, og nedre er L.

[tex]U(\Pi_n) = \frac{\pi}{3n}\sum_{i=1}^n\sin\left(\frac{i\pi}{3n}\right)[/tex]

[tex]L(\Pi_n) = \frac{\pi}{3n}\sum_{i=1}^n\sin\left(\frac{(i-1)\pi}{3n}\right)[/tex]

Hvis du kan vise at differensen mellom disse går mot null når n går mot uendelig, så vet du at integralene faller sammen.

Yupp!

For vi har jo at [tex]\: f:[a,b] \rightarrow R \:[/tex] for en monoton funksjon slik at:

[tex]\int_{a}^{b} f(x) dx=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) \Delta x[/tex]

der [tex]\: a=x_{0}<x_{1}.....<x_{n}=b[/tex]

er en inndeling av intervallet [tex]\: [a,b] \:[/tex]
i n like store deler, og:

[tex]\Delta x= \frac{b-a}{n}[/tex]

Ja, men da bruker du et resultat som gjelder for alle monotone funksjoner. Det er riktig, men det er bedre å vise det direkte for denne oppgaven.

Det gjør du ved å se på
[tex]U(\Pi_n) - L(\Pi_n)[/tex]
og vise at dette går mot null. Er ikke spesielt vanskelig, bare litt rekkemanipulasjon.

Simpelthen setter man bare:

[tex]\phi(\Pi)-N(\Pi)=[f(b)-f(a)] \frac{b-a}{n}[/tex]

Der i vår tilfelle av oppgaven blir:

[tex]\phi(\Pi)-N(\Pi)=[f(\frac{\pi}{3})-f(0)] \frac{\frac{\pi}{3}-0}{n}[/tex]

Når vi nå lar n går mot uendelig vil man se at dette blir lik null.

Eller :

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}[\phi(\Pi_{n})-N(\Pi_{n})]=\lim_{n\rightarrow \infty}[\frac{ \pi sin(\frac{\pi}{6}(1+\frac{1}{n}))}{sin(\frac{\pi}{6n}) \cdot 6n} - \frac{\pi sin(\frac{\pi}{6}(1-\frac{1}{n}))}{sin(\frac{\pi}{6n}) \cdot 6n}]=0 [/tex]