matematikk.net

Hei,
oppgaven jeg ser på lyder som følger: Finn en konform avbildning fra enhetsdisken til øvre halvplan ([tex]H:={z:Imz>0}[/tex]) som tar 0 til i og 1 til [symbol:uendelig].

Har løsningsforslag, det sier (blant annet) som følger:

Punktene 0 og [symbol:uendelig] er symmetriske med hensyn til [symbol:diff] D (der D er enhetsdisken). Dermed er T([symbol:uendelig]) symmetrisk med T(0)=i med hensyn til realaksen.

Konklusjonen som trekkes er grei, men hvorfor er 0 og [symbol:uendelig] symmetriske med hensyn til enhetssirkelen? Er det fordi det er punktene som ligger lengs unna på hver sin side?

To punkter er symmetriske med hensyn på en sirkel dersom punktene ligger på en stråle fra senter i sirkelen samt at produktet av avstandene fra hvert punkt til senteret er lik kvadratet av radiusen til sirkelen. (det eneste mulige symmetriske punktet til 0 er derfor [tex]\infty[/tex], så jeg antar det er definert slik)

Det som skjer her er vel at enhetssirkelen avbildes på den reelle aksen, og symmetriske punkter i forhold til enhetssirkelen avbildes under konforme avbildninger til symmetriske punkter i forhold til den reelle aksen. Derfor må [tex]T(\infty)=-i[/tex]. Siden vi da har gitt 3 punkter vil avbildningen(Möbiustransformasjonen) være entydig bestemt.