Hei. En oppgave jeg funderer på.
[tex]N[/tex] er her størrelsen av en populasjon. K er en positiv konstant som betegner bæreevnen, og x er en parameter >1. Så skal jeg finne [tex]f\prime(N)[/tex], og bestemme hvor vekstraten øker og hvor den synker.
[tex]f(N)=N(1 -(\frac{N}{K}))^x[/tex]
Greit, videre forstår jeg delvis fasiten som skriver:
[tex]f\prime(N)=(1 -(\frac{N}{K})^x) - +Nx(\frac{N}{K})^{x - 1} \frac{1}{K}[/tex]
Det er vel produktregelen som anvendes, men jeg forstår likevel ikke hvorfor det er + og - tegn foran Nx? Og hvorfor multipliseres det med [tex]\frac{1}{K}[/tex] på slutten?
Videre blir den ferdige løsningen:
[tex]1 -(\frac{N}{K})^x (x+1)[/tex]
Siste løsning forstår jeg heller ikke. Det er detaljene som surrer med hodet mitt. Kan noen være så snill å forklare?
Derivasjonstrøbbel med produktregel
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Edit: Ser nå du skrev inn oppgaven litt galt med x'en rundt hele uttrykket helt øverst i oppgaven. 
[tex]f(N) = N\Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x[/tex]
Vi behandler x og K som konstanter.
For å derivere denne bruker vi produktregelen:
u(N)v(N)' = u'(N)v(N) + u(N)v'(N)
u er grei, siden det bare er N.
v deriveres med kjerneregelen:
[tex]v(N) = \Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x \;\Longrightarrow\;\; v^{\tiny\prime}(N) = x\Big(1-\frac{N}{K}\Big)^{x-1}\Big(-\frac{1}{K}\Big)[/tex]
Første steg i derivasjonen får jeg til å bli:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = \Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x - Nx\Big(1-\frac{N}{K}\Big)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Når jeg sammenligner med det du delvis kom frem til ser jeg at det ligner litt, og mener bestemt det skal være minus foran det andre leddet. Plusset ser ut som en trykkfeil eller noe.
Det skal vel kanskje være "1-" inne i den ene parentesen også?
Dobbelsjekker med Wolfram Alpha (som kommer frem til noe som ser annerledes ut enn fasitsvaret ditt. Sett inn verdier og sammenlign).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... FK%29%29^x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... FK%29%29^x
(Kopier hele lenken)
[tex]f(N) = N\Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x[/tex]
Vi behandler x og K som konstanter.
For å derivere denne bruker vi produktregelen:
u(N)v(N)' = u'(N)v(N) + u(N)v'(N)
u er grei, siden det bare er N.
v deriveres med kjerneregelen:
[tex]v(N) = \Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x \;\Longrightarrow\;\; v^{\tiny\prime}(N) = x\Big(1-\frac{N}{K}\Big)^{x-1}\Big(-\frac{1}{K}\Big)[/tex]
Første steg i derivasjonen får jeg til å bli:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = \Big(1 - \frac{N}{K}\Big)^x - Nx\Big(1-\frac{N}{K}\Big)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Når jeg sammenligner med det du delvis kom frem til ser jeg at det ligner litt, og mener bestemt det skal være minus foran det andre leddet. Plusset ser ut som en trykkfeil eller noe.
Det skal vel kanskje være "1-" inne i den ene parentesen også?
Dobbelsjekker med Wolfram Alpha (som kommer frem til noe som ser annerledes ut enn fasitsvaret ditt. Sett inn verdier og sammenlign).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... FK%29%29^x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... FK%29%29^x
(Kopier hele lenken)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Ja, det var skrivefeil. x'en skulle innenfor siste parentes! 
Men jeg forstår ikke den [tex]\frac{1}{K}[/tex] og hvorfor det multipliseres med den. Det er vel en regel, men jeg forstår ikke!
Men jeg forstår ikke den [tex]\frac{1}{K}[/tex] og hvorfor det multipliseres med den. Det er vel en regel, men jeg forstår ikke!
Ingenting eksisterer bortsett fra atomer og tomt rom; alt annet er meninger.
Ok. Da prøver vi igjen. 
[tex]f(N) = N\Big(1-\(\frac{N}{K}\)^x\Big)[/tex]
Produktregelen igjen, og den andre funksjonen deriveres slik:
[tex]v(N) = \Big(1-\(\frac{N}{K}\)^x\Big) = \Big(1 - \frac{N^x}{K^x}\Big)[/tex]
Bruker det litt unødvendige "trikset" med å faktorisere ut en 1/K. Er virkelig ikke noe hensikt med det, siden den ganges tilbake inn nesten med en gang. (Eller den kommer vel av seg selv når man deriverer med kjerneregelen, noe jeg ikke gjorde siden jeg bare skrev om brøken).
[tex]v^{\tiny\prime}(N) = -\frac{xN^{x-1}}{K^x} = -\frac{xN^{x-1}}{K^{x-1}}\cdot\frac{1}{K} = -x\(\frac{N}{K}\)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Så det første steget blir:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1-\(\frac{N}{K}\)^x - Nx\(\frac{N}{K}\)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Ganger inn N og K i det siste leddet:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1-\(\frac{N}{K}\)^x - x\(\frac{N}{K}\)^{x}[/tex]
Nå kan du trekke sammen de to siste leddene:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1 - (x+1)\(\frac{N}{K}\)^{x}[/tex]
Kan bytte om rekkefølgen på multiplikasjonen så du får akkurat det samme som fasiten.
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1 - \(\frac{N}{K}\)^{x}(x+1)[/tex]
[tex]f(N) = N\Big(1-\(\frac{N}{K}\)^x\Big)[/tex]
Produktregelen igjen, og den andre funksjonen deriveres slik:
[tex]v(N) = \Big(1-\(\frac{N}{K}\)^x\Big) = \Big(1 - \frac{N^x}{K^x}\Big)[/tex]
Bruker det litt unødvendige "trikset" med å faktorisere ut en 1/K. Er virkelig ikke noe hensikt med det, siden den ganges tilbake inn nesten med en gang. (Eller den kommer vel av seg selv når man deriverer med kjerneregelen, noe jeg ikke gjorde siden jeg bare skrev om brøken).
[tex]v^{\tiny\prime}(N) = -\frac{xN^{x-1}}{K^x} = -\frac{xN^{x-1}}{K^{x-1}}\cdot\frac{1}{K} = -x\(\frac{N}{K}\)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Så det første steget blir:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1-\(\frac{N}{K}\)^x - Nx\(\frac{N}{K}\)^{x-1}\frac{1}{K}[/tex]
Ganger inn N og K i det siste leddet:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1-\(\frac{N}{K}\)^x - x\(\frac{N}{K}\)^{x}[/tex]
Nå kan du trekke sammen de to siste leddene:
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1 - (x+1)\(\frac{N}{K}\)^{x}[/tex]
Kan bytte om rekkefølgen på multiplikasjonen så du får akkurat det samme som fasiten.
[tex]f^{\tiny\prime}(N) = 1 - \(\frac{N}{K}\)^{x}(x+1)[/tex]
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
