L'Hospital og derivasjon

[Serenity]

Da er vi på nye oppgaver med derivasjon, ved hjelp av l'Hospitals regel.

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} x^2 ln x[/tex]

Jeg har gjort slik:

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac {lnx}{1/x^2}[/tex]

Så, derivere oppe og nede:

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac {1/x}{-2/x^3}[/tex]

Er det riktig måte, og hva gjør jeg så eventuelt videre?

[Vektormannen]

Ja, ser riktig ut så langt

Hva får du når du forkorter den brøken du har fått?

[Serenity]

Det er der jeg feiler, ble bare masse x'er og brøker opphøyd i x'er og rot. Hjernen min takler ikke så mange brøker på én gang

[Serenity]

[tex]\frac {x^2}{-2}[/tex]
er vel det jeg får på min måte

[Vektormannen]

Det er helt riktig det

Da rekner jeg med det går greit å finne grensen av det uttrykket?

[Serenity]

Skulle likt og sagt at det går helt greit, men den gang ei.
Setter jeg 0 inn for x? Og hva er forskjellen om x går mot 0[sup]+[/sup] og 0[sup]-[/sup]?

[Vektormannen]

I dette tilfellet er det ingen forskjell, siden [tex]x^2[/tex] alltid er positiv. I tillegg blir grenseverdien 0, og fortegnet spiller da ingen rolle (du finner den som du sier ved å sette inn 0 for x.)

Men det er viktig å være på vakt. Noen ganger vil grensene fra henholdsvis høyre og venstre side være forskjellige. Da vil ikke grensen eksistere. Et eksempel: [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}[/tex]. Den eneste forskjellen mellom x og |x| er at sistnevnte alltid er positiv. For x > 0 vil x og |x| være akkurat det samme. Så [tex]\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1[/tex]. Men når x < 0 (som er tilfelle når vi nærmer oss 0 fra negativ side) så vil x og |x| ha samme tallverdi, men x vil være negativ og |x| vil være positiv. Da vil [tex]\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1[/tex].