matematikk.net

La V være et endelig-dimensjonalt vektorrom, og la det algebraiske dualrommet til V være V*, som igjen har det algebraiske dualrommet V**.

La videre [tex]v\in V\,,\, f\in V*\,,\,\bar{v}\in V**[/tex]

Da har jeg lest flere steder[sup]1[/sup] at det er konvensjon å definere [tex]\bar{v}(f)\equiv f(v)[/tex] (via en arbitrær(?) isomorfi [tex]V\leftrightarrow V**[/tex]) og dermed identifisere [tex]V[/tex] med [tex]V**[/tex].

Hva er motivasjonen bak dette? Dette er jo en ekstra struktur definert oppå den vanlige vektorromstrukturen. Hvilke egenskaper ved et vektorrom er avhengig av denne strukturen?

[sup]1[/sup]: Wikipedia og Advanced Linear Algebra av Steven Roman

Det virker for meg som det du skriver der mer eller mindre er definisjonen på isomorfien. Du definerer en isomorfi [tex]T: V \rightarrow V^{**}[/tex] slik at [tex]T(v)[/tex] er funksjonen som tar en transformasjon [tex]f \in V^{*}[/tex] til verdien [tex]f(v)[/tex]. Nå gjelder det å holde tunga rett i munnen, for hva er et element i [tex]V^{**}[/tex]? Jo, det er en lineær funksjon som tar et element i [tex]V^{*}[/tex] til noe i en kropp k. Og et element i [tex]V^{*}[/tex] er jo igjen en lineæravbildning, så isomorfien [tex]T[/tex] du definerer sier 'ta et element [tex]v \in V[/tex] og send det til funksjonen [tex]v^{**} \in V^{*}[/tex] som evaluerer avbildninger i [tex]V^{*}[/tex] i [tex]v[/tex]'. Dette ble en litt rotete setning, men poenget er hvertfall at [tex]T[/tex] faktisk blir en isomorfi når V er endelig-dimensjonal. Dette er ikke helt opplagt, men noe en må bevise. Det du leser er altså ikke en konvensjon, men en definisjon på en avbildning T mellom to vektorrom som viser seg å være en isomorfi.

For "arbitrær" er det vanlig å bruke "vilkårlig".

Jeg forstår. Men, i Romans bok definerer han [tex]V=V**[/tex], fremfor at [tex]V\simeq V**[/tex], altså at [tex]v**=v[/tex], så lenge [tex]V[/tex] er endelig-dimansjonalt.

Poenget her er at det er en veldig naturlig isomorfi mellom V og V**, så det 'går bra' å identifisere dem. Når V er endelig-dimensjonalt kan en jo også vise at det er isomorft med V*, men da har du ingen opplagt naturlig isomorfi, så derfor identifiserer man ikke V og V*.