Vis at det finnes et utvalg U

[Integralen]

Oppgave 8.5.3
La [tex]\: f : [a,b] \rightarrow R \:[/tex] være en kontinuerlig funksjon, og la [tex]\: \Pi=a,x_{1},x_{2},.....,b \:[/tex] være en partisjon av [tex]\: [a,b] \:[/tex]. Vis at det finnes et utvalg U slik at

[tex]R(\Pi ,U)=\int_{a}^{b} f(x) dx [/tex].

(Hint: La [tex]\: F(x) =\int_{a}^{x} f(t) dt \:[/tex] og observer at

[tex]\int_{a}^{b} f(x) dx= F(b)-F(a)= \sum_{i=1}^{n} [F(x_{i})-F(x_{i-1})][/tex].

Bruk middelverdisetningen.)

[Charlatan]

F er kontinuerlig, så du kan bruke middelverdisetning til å finne en c_i for hver i >0 slik at [tex]F^{\prime}(c_i)(x_i-x_{i-1}) = F(x_i)-F(x_{i-1})[/tex].


La c_i'ene definere utvalget U.

[Integralen]

Fra observasjonen i oppgaven får man da:

[tex]\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]=\sum_{i=1}^{n}F^\prime(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})[/tex]

der det er brukt middelverdisetningen og der den siste summen er for integralet:

[tex]\int_{a}^{b} F^\prime(x) dx=\int_{a}^{b} f(t) dt[/tex]

Siden c ligger mellom a og b er sluttgrensen b=x.Dermed er:

[tex]\int_{a}^{x} F^\prime(x) dx=\int_{a}^{x} f(t) dt[/tex]

Som var det vi skulle ta stilling til.

Blir det riktig å føre det slik??????

[Charlatan]

Det skal være[tex] \int^b_a f(x) dx = F(b)-F(a), [/tex]F(x) skal ikke være integranden her.

Videre er jo F'(c) = f(c), og som du ser er man jo allerede i mål ved første setning.

[Integralen]

Hvorfor nevner oppgaven:

La [tex]F(x)=\int_{a}^{x} f(t) dt[/tex]

Hvorfor har denne en øvre grense lik x og ikke b ?????